shpory_matem_VSYe

65.Оригинал и изображение по Лапласу

Изображение по Лапласу оригинала в виде постоянной во времени величины

Пусть оригинал является постоянной величиной f(t) = U0 = const. Вычислим интеграл Лапласа:

Постоянной величине в области изображения соответствует эта же постоянная, делённая на оператор (р).

Не всегда размерность оригинала соответствует размерности изображения.

Существует такое преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, в котором совпадают размерности – это преобразование Карсона:

C(p) = p F(p).

Преобразование Карсона здесь рассматривать не будем.

Изображение показательной функции

Если функция времени представляет собой показательную функцию , то изображение можно получить с помощью интеграла Лапласа:

Таким образом:

Отсюда вытекает ряд важных следствий.

1) Положив a = jw, получим:

2) Функции е-?tt соответствует изображение:

Если функция времени представляет собой синусоидальную величину, например,

ЭДС ,

то E(p), при , равно:

Изображение по Лапласу комплексной величины

Пусть , тогда при t = 0, и функция времени может быть выражена через комплекс напряжения:

Подвергнем вращающийся комплекс преобразованию Лапласа:

Изображение по Лапласу производной функции времени

Известно, что функции f(t) соответствует изображение F(р). Требуется найти изображение первой производной , если известно, что значение функции f(t) при t = 0 равно f(0).

Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

Интегрирование произведем по частям. Обозначив и , получим:

Следовательно,

но

Таким образом,

;

Изображение напряжения на индуктивности

Исходить будем из условия, что оригиналу тока i соответствует изображение тока I(р). Запишем оригинал напряжения на индуктивности:

По формуле определим изображение производной тока:

где i(0) – значение тока i при t = 0. следовательно,

Если i(0) = 0, то

Содержание