53. Условие Коши-Римана

Теорема (необходимые условия дифференцирования). Пусть функция   дифференцируема в точке  . Тогда функции   имеют частные производные в точке   удовлетворяют следующим условиям:

.

Условия (*) называются условиями Коши-Римана.

Доказательство.

Пусть  . Какую бы не выбрали траекторию   отношение   будет стремится к одному и тому же числу.

Выберем 2 траектории.

    (действительная ось)     (мнимая ось)

  .

  .

Сравнивая вещественные и мнимые части первого и второго уравнения получаем условие Коши-Римана.

Пример.