17.Линейное ду п-го порядка с постоянными коэффициентаки

Однородное уравнение:

интегрируется следующим образом:

Пусть — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

кратностей , соответственно, .

Тогда функции

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.