В. “Арифметичні” властивості границь

1. Границя суми, різниці, добутку, частки двох функціій дорівнює (відпо-відно) сумі, різниці, добутку, частці границь цих функцій, тобто

■ Доведення для границі добутку. Нехай

.

На підставі теореми 5 з п. 1.2.6 в деякому околі точки а

,

де - нм при . Добуток цих функцій дорівнює

.

Це значить, що

.■

Зауваження (див. також зауваження наприкінці попереднього пункта). Нічого не можна сказати без спеціального дослідження про границю частки двох функцій

коли обидві вони є нм або нв при . В таких випадках кажуть про невизна-ченості типів

або

та про необхідність їх розкриття.

Наслідки. a) Для будь-якої константи C

,

тобто сталий множник можна винести за знак границі.

b) Для довільного натурального числа n границя n-го степеня функції до-рівнює n-му степеню границі цієї функції,

.

Приклад. Застосовуючи властивість 1 та наслідки з неї, маємо

.

Приклад. Обчислити границю

.

Число 1 є коренем як чисельника, так і знаменника, так що нам треба роз-крити невизначеність типу . Ми зробимо це, розклавши чисельник і знамен-ник на множники і скоротивши дріб на множник .

Приклад. Обчислити границю

.

Тут також треба розкрити невизначеність типу . З цією метою ми по-множимо чисельник і знаменник на добуток спряжених їм виразів, що після де-яких перетворень дасть можливість скоротити дріб і позбавитись невизначено-сті. Саме,

.

2 (границя складеної функції). Нехай дано складену функцію

,

де . Якщо

і ,

то існує границя функції в точці a, яка дорівнює А,

.

■Доведення властивості зручно здійснити в тій формі означення границі, про яку йшлося в зауваженні 4 пункту 1.2.1. Оскільки

,

то

Оскільки, далі,

,

то для названого

З цих двох співвідношень випливає, що

а це означає, що

.■

Приклад. Знайти границю

.

Введемо позначення

,

так що треба знайти в точці границю складеної функції

.

Тут необхідно виокремити випадки прямування до 2 зліва і справа.

Таким чином,

Означення 23. Дві функції f (x), g (x) називаються еквівалентними в де-якому граничному переході , якщо границя їх відношення дорівнює одиниці.

Так, для випадку еквівалентність функцій f (x) і g (x) означає, що

3. При відшуканні границь ми можемо замінювати співмножники еквіва-лентними їм.

■ Нехай, наприклад, f (x) ~ h (x), g (x) ~ k (x) при , і

.

Помножаючи чисельник і знаменник на добуток , матимемо

.

Отже, ми замінили множники f (x), g (x) еквівалентними їм множниками h (x), k (x), і це не змінило результат граничного переходу.■

Властивість 3 може полегшувати відшукання границь, якщо ми заміню-ватимемо співмножники еквівалентними їм, але простішими.