3. (Похідна частки).

■Дамо доведення для випадку добутку двох функцій. Зауважимо, що

.

Якщо то внаслідок диференційовності, а отже і неперервності функцій . Тому

.■

Частинні випадки.

a)

(сталий множник можна винести за знак диференціювання), бо

.

b) ,

оскільки

.

Приклад. Похідні тангенса і котангенса.

.

.

Приклад. Знайти частинні похідні по x і y функції двох змінних

.

Знаходячи частинну похідну по x (y), ми розглядаємо другу змінну y (відповідно x) як фіксовану (або просто сталу).

Приклад. Продиференціювати функцію (тобто знайти її похідну)

.

.

Приклад. Довести формулу диференціювання добутку трьох функцій.

■

.■

Приклад. Знайти похідну функції

.

На підставі формули, доведеної в попередньому прикладі, маємо

.