2.2.2. Диференціювання неявної, оберненої та параметрично заданої функцій а. Випадок неявної функції

Означення 1. Функція однієї змінної називається неявною (або неявно заданою), якщо вона визначена рівнянням вигляду

, ( 6 )

тобто рівнянням, яке не розв"язане відносно y.

Якщо з рівняння (6) можна знайти , то функція перетворює рівняння на тотожність

.

Приклад. Рівняння визначає дві неявні функції

,

підстановка яких в рівняння дає тотожність

.

Теорема 3. Нехай:

1) функція в рівнянні (6) і її частинні по-хідні визначені і неперервні в деякому околі точки (рис. 1);

2) ,

але Рис. 1 .

Тоді рівняння (6) визначає єдину неявну функцію в певному околі точки . Ця функція є неперервною і диференційовною в деякому околі точки , а її графік проходить через точку (тобто

).

Щоб знайти похідну неявної функції , трактуватимемо рівняння (6) як тотожність і продиференціюємо його по x. Використову-ючи правило диференціювання складеної функції, отримаємо

. ( 7 )

В подальшому ми можемо, залежно від ситуації, застосовувати як форму-лу (7), так і метод, за допомоги якого її отримано.

Приклад. Знайти похідну функції, неявно заданої рівнянням

.

Перший спосіб (за допомогою формули (7)). Тут функція

,

її частинні похідні по x і y дорівнюють

,

звідки за формулою (7)

Другій спосіб (безпосереднє знаходження похідної). Продиференціюємо задане рівняння по x, беручи до уваги, що змінна y є функцією від x:

.

Ми отримали лінійне рівняння відносно шуканої похідної . Розв"язуючи його, маємо

Приклад. Скласти рівняння дотичних до кола , які проходять через точку A (0; 5).

Зауважмо, що точка A (0; 5) не лежить на колі. Розв"язок задачі можна по-дати в декілька кроків.

а) Взявши до уваги, що дотичні повинні проходити через точку A (0; 5), шукатимемо їх рівняння у вигляді

, або ж ,

де k – невідомі кутові коефіцієнти дотичних.

б) Диференціюємо обидві частини рівняння кола і знаходимо кутовий ко-ефіцієнт дотичної в довільній його точці ,

.

в) В спільних точках шуканих дотичних і кола повинні виконуватися умо-ви

які породжують систему рівнянь відносно k і координат точок дотику.

г) Немає потреби повністю розв"язувати систему, достатньо знайти з неї шукані значення k. Діємо наступним чином:

Отримали два значення k, і шуканими рівняннями дотичних будуть

Приклад. Знайти кути, під якими перетинаються лінії

Розв"язання.

а) Спочатку знаходимо точки перетину ліній (кола і параболи), розв"я-зуючи систему їх рівнянь,

b) Далі ми знаходимо кутові коефіцієнти дотичних до обох кривих в довільних їх точках. Знаходячи похідні функцій, заданих неявно, маємо

.

c) В точці кутові коефіцієнти дотичних до кривих дорівнюють

,

і тому криві перетинаються тут під кутом, тангенс якого дорівнює

d) В точці криві перетинаються під кутом, для якого (перевір-те!)

.

Досі йшлося про існування і диференційовність неявної функції однієї змінної x, визначеної рівнянням вигляду (6). Аналогічно можна вести розмову про існування і диференційовність неявної функції будь-якої кількості змінних, визначеної одним рівнянням, і навіть декількох неявних функцій, визначених системою рівнянь.

Обмежмось декількома словами щодо функції двох змінних

,

неявно визначеної рівнянням вигляду

. ( 8 )

Її частинні похідні по x і y знаходяться за формулами

( 9 )

Спробуйте довести ці формули самостійно!

Вказівка.

,

і таким же чином для .

Приклад. Знайти частинні похідні функції , неявно визначеної рівнянням

.

Відповідно формулам (9) послідовно маємо