А. Загальні властивості границь

Всі наступні властивості є справедливими для будь-якого типу гранич-ного переходу. Для визначеності перші п"ять розглядаються для випадку грани-ці функції в точці а, а остання – для границі числової послідовності.

1 (єдиність границі). Функція може мати не більше однієї границі в точці а, тобто якщо

,

то .

■Доведімо властивість від супротивного. Нехай наприклад За означенням границі,

.

Нехай - настільки мале, що . Тоді в отримуємо

, або ж ,

що неможливо. Отримане протиріччя доводить справедливість властивості.■

2. Якщо існує границя

,

то функція f (x) є обмеженою в деякому околі точки a.

■За означенням границі

.

Таким чином в функція обмежена зверху числом , знизу –числом , а отже є обмеженою.■

3. Функція f (x), яка має в точці а додатну границю,

,

сама є додатною в деякому околі точки.

■Доведення випливає з доведення попередньої властивості, якщо взяти настільки малим, щоб різниця b - була додатною. Тоді в матимемо

.■

4 (наслідок). Якщо в деякому околі точки a функція f (x) додатна або невід"ємна ( або ), то її границя в цій точці, якщо вона існує, є невід"ємною,

■Властивість дуже просто доводиться від супротивного. Припустімо про-тилежне тому, що треба довести, а саме, що

На підставі властивості 3 функція повинна бути від"ємною в якомусь околі точ-ки а, нехай в Тоді в спільній частині околів , вона є і додатною (або невід"ємною) і в той же час від"ємною. Отримане протиріччя доводить спра-ведливість властивості.■

Зауваження. Умова властивості 4 припускає можливість як строгої, так і нестрогої нерівності ( або ) в , але відносно границі функції можна стверджувати тільки нестрогу нерівність.

Приклад. Для будь-якого натурального n виконується нерівність

,

але границя

дорівнює нулю і, отже, не є додатною.

5 (існування границі проміжної функції). Якщо в деякому околі точки a для трьох функцій виконується нерівність

,

причому функції мають в точці а одну й ту ж границю b,

,

то в тій же точці існує границя проміжної функції , яка також дорівнює b,

.

■ Факт

означає, що

.

Нехай - спільна частина околів і . Тоді в виконую-ться всі задіяні тут нерівності, звідки отримуємо

,

а отже

.

Таким чином, нами доведено, що

, тобто .■

Доведену властивість часто жартома називають теоремою про двох мілі-ціонерів. Як ви гадаєте, чому?

6. Якщо числова послідовність зростає (не спадає) і обмежена зверху або ж спадає (не зростає) і обмежена знизу, то вона збігається, тобто має грани-цю.

Сформульоване твердження є насправді не властивістю, а важливою тео-ремою, яку в рамках нашого втузівського курсу неможливо навіть довести. Ми можемо тільки наводити приклади її застосування.

Приклад. Відомо, що послідовність периметрів правильних n-кутників, вписаних в коло, є зростаючою. З іншого боку, вона є обмеженою зверху, на-приклад, периметром будь-якого описаного многокутника. Отже, на підставі 6 існує границя

,

яка й приймається за означення довжини кола. Аналогічно означаються площа круга, площі бокових поверхонь і об"єми круглих тіл (циліндра, конуса тощо).