В. Точки розриву

Означення 6. Нехай функція є неперервною в деякому околі точки , за винятком самої цієї точки, тобто у виколеному околі точки. В такому випадку точка називається точкою розриву функції.

У випадку функції однієї змінної ми можемо класифіку-вати точки розриву. Це робиться в термінах лівої і правої границь

функції в точці , коли порушується принайм-ні одна з умов теореми 1 (див. рис. 2, 3). Рис. 2 1. Точкою розриву першого роду нази-вається точка , для якої існують як ліва, так і права границі (рис. 2). Розрив може реалізовуватися в такі три способи:

a) ліва і права границя функції в точці існують, але не є рівними,

(див рис. 2a); в цьому випадку різниця

називається стрибком (скінченним стрибком) функції в точці розриву ;

б) ліва і права границя функції в точці існують і є рівними,

,

але значення функції в точці , хоча і існує, та не дорівнює її лівій (правій) границі в цій точці (див. рис. 2b);

в) ліва і права границя функції в точці існують і є рівними,

,

але значення функції в точці не існує (див. рис. 2c).

У випадках б), в) точка називається точкою усувного розриву, оскіль-ки ми можемо "виправити" функцію в цій точці, розглянувши функцію, яка збігається з даною в усіх точках , а в точці має значення ,

Рис. 3 Функція є неперервною в точці , збігається з в усіх інших точках, і отже наявний розрив в точці "усунуто".

2. Точкою розриву другого роду називається точка , для якої принайм-ні одна з границь є нескінченною або взагалі не існує (рис. 3).

Наприклад, точки

,

є точками розриву другого роду відповідно тангенса і котангенса . Рис. 4 Наслідок. Графік функції однієї змінної, непе-рервної на якомусь інтервалі , є якась неперервна лінія (рис. 4).

Приклад. Вище (див. п. 1.3.3) ми показали, що

Отже, точка x = 2 є точкою розриву другого роду функції

.

Приклад. Точка x = 2 є точкою розриву першого роду функції

.

■Нехай

і .

Якщо , то, як було показано вище, , і

.

Якщо ж , то, як ми вже знаємо, , і

Отже,

,

і точка є точкою розриву першого роду. Стрибок функції в цій точці

.■

Приклад. Нехай

При якому значенні параметра a функція буде неперервною?

Функцію на двох різних інтервалах задано різними вира-зами. Вона, очевидно, є неперервною для всіх значень арґументу, крім, можли-во, точки стику . Тому треба забезпечити неперервність функції тільки в цій точці. Подальші міркування засновані на теоремі 1.

Ліва і права границі функції в точці дорівнюють

.

Для неперервності функції в точці повинна виконуватись умова

,

звідки випливає, що . Функція

є неперервною для всіх значень арґументу x.

Для функцій декількох змінних множина точок розриву може бути значно складнішою, ніж для функцій однієї змінної.

Приклад. Точки розриву функції двох змінних

утворюють цілу пряму, а саме x = y.