1.2.2. Властивості функції, неперервної на відрізку або в замкненій обмеженій області

Теорема 4. Якщо функція однієї змінної неперервна на відрізку [a, b], то (див. рис. 5):

1) вона набуває найбільшого M і найменшого m значень на [a, b]: існують такі точки , що

, Рис. 5 (теорема Вейерштрасса¹);

2) вона набуває всіх значень, які знаходяться між m і M (теорема Больцано²-Коші³ про проміжне значення); Рис. 6 3) якщо вона має значення різних знаків в двох точках відрізка, то вона хоча б один раз між цими точками набуває нульового значення.

Зауваження. Заключення теореми можуть не справджуватись, якщо функ-ція має принаймні одну точку розриву. Наприклад, функція, графік якої зобра-жено на рис. 6а, має розрив в точках a і b і не має ні найменшого, ні найбільшо-го значень. Функція з графіком, зображеним на рис. 6b, має точку розриву , набуває найбільшого M і найменшого m значень, але не набуває жодного про-міжного значення між c і d.

Відзначимо, нарешті, що функція, яка має графік, показаний на рис. 6c, має дві точки розриву a і і тим не менш перші два заключення теореми для неї справджуються. Це означає, що умови теореми є достатніми для заключень 1), 2), 3), але вони не є необхідними.

Аналогічні теореми є справедливими для функцій декількох змінних.

Означення 7. Об"єднання області та її границі називається замкненою областю,

.

Означення 8. Область на площині (або в просторі будь-якого виміру) називається обмеженою, якщо вона міститься всередині якогось кола (відповід-но якоїсь сфери) з центром в початку координат.

Теорема 5. Якщо функція декількох змінних неперервна в замкненій обмеженій області , то:

1) вона набуває в своїх найбільшого M і найменшого m значень;

2) вона набуває всіх значень, заключених між m і M;

3) якщо вона має різні знаки в двох точках області, то вона в ній принай-мні один раз набуває нульове значення.