1. Вступ до математичного аналізу 5
Формула Тейлора (29) для функції однієї змінної припускає просте перенесення на випадок функції декількох змінних.
Нехай
,
а функція n незалежних змінних
разів диференційовна. Тоді її повний приріст в точці може бути поданий в вигляді формули Тейлора з залишковим членом в формі Лагранжа
. ( 30 )
Для випадку функції двох змінних формулу Тейлора записуємо в такому вигляді
( 31 )
де
, ( 32 )
( 33 )
З формули (32) бачимо, що диференціал другого порядку функції двох змінних є квадратичною формою з симетричною матрицею (так званою матрицею Гессе1) другого порядку,
. ( 34 )
У випадку n незалежних змінних диференціал другого порядку функцї є квадратичною формою
( 35 )
з симетричною матрицею (матрицею Гессе) n-порядку
( 36 )
МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ 4
Л І Т Е Р А Т У Р А 4
ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ 5
Yandex.RTB R-A-252273-3- Міністерство освіти і науки україни донецький національний технічний університет Косолапов ю.Ф. Математичний аналіз першого курсу частини 1 - 2
- Донецьк 2009
- Частина перша: вступ до аналізу. Диференціальне числення та його застосування математичний аналіз
- Підручники
- Збірники задач
- 1.1.2. Границя. Нескінченно малі і великі а. Границя функції в точці
- Б. Однобічні границі функції однієї змінної в точці
- В. Границя числової послідовності
- Г. Границя функції на плюс або мінус нескінченності
- Д. Нескінченно малі (нм)
- Е. Зв"язок між границями функцій і нескінченно малими
- Є. Нескінченно великі (нв)
- Ж. Співвідношення між нескінченно великими (нв) і нескінчен-но малими (нм)
- 1.1.3. Властивості границь
- А. Загальні властивості границь
- Б. Властивості нескінченно малих
- В. “Арифметичні” властивості границь
- Г. Властивості нескінченно великих
- 1.1.4.Стандартні границі а. Перша стандартна границя
- Б. Друга стандартна границя
- 1. (Третя стандартна границя) ( 3 )
- 2. (Четверта стандартна границя) ( 4 )
- 1.1.5. Відсотки в інвестиціях
- 1.2. Неперервність функцій
- 1.2.1. Неперервність функції в точці а. Основні означення
- Б. Властивості неперервних функцій
- В. Точки розриву
- 1.2.2. Властивості функції, неперервної на відрізку або в замкненій обмеженій області
- 1.2.3. Метод інтервалів та його узагальнення
- 2. Диференціальне числення
- 2.1.1. Задачі, які ведуть до поняття похідної а. Швидкість зміни функції
- Б. Продуктивність праці
- В. Дотична до кривої
- 2.1.2. Похідна і частинні похідні а. Похідна функції однієї змінної
- Б. Частинні похідні функції декількох змінних
- 2.1.3. Похідні основних елементарних функцій
- 2.1.4. Диференційовність і неперервність
- 2.1.5. Похідні суми, різниці, добутку, частки
- 1. (Похідна суми і різниці).
- 2. (Похідна добутку).
- 3. (Похідна частки).
- 2.2. Техніка диференціювання
- 2.2.1. Похідна складеної функції
- 2.2.2. Диференціювання неявної, оберненої та параметрично заданої функцій а. Випадок неявної функції
- Б. Випадок оберненої функції
- В. Випадок функції, заданої параметрично
- 2.2.3. Похідні вищих порядків
- 2.2.4. Диференціал
- 2.2.5. Похідна за напрямом. Ґрадієнт
- 2.2.6. Похідні в економіці. Еластичність а. Темп зміни функції
- Б. Граничні величини
- В. Еластичність функції
- Властивості еластичності
- 2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної
- 2.3.1. Теореми Ферма і Ролля
- 2.3.2. Теореми Лагранжа і Коші
- 2.3.3. Правило Лопіталя для розкриття невизначеностей
- А. Невизначеності типів
- Б. Деякі інші типи невизначеностей
- 2.3.4. Формули Тейлора і Маклорена а. Формули Тейлора і Маклорена для многочлена
- Б. Розвинення бінома (формула бінома Ньютона)
- В. Формули Тейлора і Маклорена для довільної функції однієї змінної
- Г. Формула Тейлора для функції декількох змінних
- 1. Вступ до математичного аналізу 5
- 1.1. Границя функції 5
- 1.2. Неперервність функцій 43
- 2. Диференціальне числення 60
- 2.2. Техніка диференціювання 71
- 2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної 97