Б. Властивості неперервних функцій

1 (неперервність арифметичних операцій над неперервними функціями). Сума, різниця, добуток двох неперервних в точці функцій неперер-вні в цій точці. Відношення ж цих функцій неперервне в цій точці за умови

■Нехай, наприклад На підставі властивості 1 “арифме-тичних властивостей границь”

,

тобто добуток функцій є неперервним в точці .■

Приклад. Функції

неперервні: перша в усіх точках де , друга – в будь-якій точ-ці .

2 (неперервність суперпозиції функції). Якщо функція неперерв-на в точці , а функція неперервна у відповідній точці , то складена функція є неперервною в точці .

Це означає, що якщо і , то

.

Цю властивість можна довести в такий же спосіб, який ми використали при доведенні твердження про границю складеної функції (див. п. 1.3.3).

3 (неперервність оберненої функції). Якщо функція однієї змінної є неперервною і зростаючою (спадаючою) на відрізку , то її обернена функція є неперервною і та- Рис. 1 кож зростаючою (відповідно спадаючою) на від-різку (рис. 1).

Приклад. Функція

є неперервною і зростаючою на інтервалі , причому

.

Тому її обернена функція

(або ж )

є також неперервною і зростаючою на інтервалі .

Аналогічно встановлюється неперервність і зростання на обер-неної функції для неперервної і зростаючої на степеневої функції

з натуральним показником, а саме функції

(або ж )

Приклад. Функція

є неперервною і зростаючою на відрізку , причому

.

Тому її обернена функція

(або ж )

- неперервна і зростаюча на відрізку .

Аналогічно доводиться неперервність і зростання функції

на інтервалі ,

неперервність і спадання функцій

на відрізку ,

на інтервалі .

Приклад. Неперервність степеневої функції

для будь-якого дійсного показника степеня закладено в строге означення функції, яке в свою чергу базується на строгій теорії дійсного числа.

Приклад. Таким же чином неперервність закладено і в строге означення показникової функції

де а – дійсне число, яке задовольняє нерівність

.

Приклад. Неперервність і зростання (при ) або спадання (при ) логарифмічної функції

як оберненої для показникової, випливає з неперервності і зростання (відповід-но спадання) останньої.

З розглянутих прикладів і властивостей неперервних функцій випливає наступна теорема:

Теорема 3. Всі основні елементарні і елементарні функції неперервні в своїх областях визначення.

Фактично ми користувались цією теоремою при обчисленні границь. Зо-крема, при доведенні третьої стандартної границі ми скористалися неперервні-стю логарифма.