Є. Нескінченно великі (нв)

Нехай, наприклад, задано функцію однієї змінної , і x прямує до точки а, .

Означення 21. Функція називається нескінченно великою (нв) при (або – в точці а),

,

якщо для як завгодно великого додатного числа N існує окіл точки а такий, що для будь-якого значення арґументу з проколеного околу виконується не-рівність

.

В символічному запису

.

Зауваження. Якщо функція є нв при , причому вона має тільки додатні (або від"ємні) значення в якомусь околі точки a, то кажуть, що

(відповідно ).

Аналогічно означаються поняття нв при і виокремлюються випадки прямування нв до або .

Приклад. Функція є нв при , причому

.

■ Для як завгодно великого додатного числа N маємо

, якщо , або або ж .

Таким чином,

Зокрема, функція прямує до , якщо x прямує до 0 зліва (при ), і до , якщо x прямує до 0 справа (при ),

,

бо при вона є від"ємною, а при - додатною.■

Приклад. За допомогою тригонометричного круга довести, що

.

■Нехай як завгодно велике, і (див. рис. 13). Тоді для будь-якого з інтервалу

,

виконується нерівність , а це значить, що

.

В більш розгорнутому символічному вигляді ми можемо отриманий результат записати так:

.■

Приклад. Функція є нв, якщо , до того Рис. 13 ж

■Якщо , то (в припущенні, що арґумент x вже став додатним)

для .

Якщо ж , то (припускаючи, що арґумент x вже є від"ємним) маємо

для ■

Теорема 6. Всі наступні функції є нв: a) для ; b) для і ; c) при і ; d) для або ; e) при зліва або справа; g) для зліва і справа. Все це можна запам"ятати за допомогою відомих графіків назва-них функцій.