2.2.1. Похідна складеної функції

Теорема 1. Якщо функції однієї змінної диференційов-ні, то складена функція має похідну, яка обчислюється за таким правилом:

( 1 )

або більш коротко

.

■З п. 2.1.4 (теорема 2) випливає, що функції неперервні. На цій підставі, якщо приріст арґументу x прямує до нуля, , то приріст функції прямує до нуля, , а тому приріст функції також прямує до нуля, .

На підставі формули (14) з п. 2.1.4 можемо записати

,

де є нм при (а отже і при ). Поділивши обидві частини рівності на і переходячи до границі при , отримаємо

звідки випливає формула (1). ■

Зауваження. Функцію часто називають проміжним арґумен-том, або внутрішньою функцією, і ми можемо сформулювати наступне прави-ло диференціювання складеної функції: похідна складеної функції дорівнює до-бутку її похідної по проміжному арґументу [по внутрішній функції] і похідної проміжного арґументу [внутрішньої функції].

Застосовуючи теорему і попередні результати щодо диференціювання основних елементарних функцій (див. пп. 2.1.3 і 2.1.5), ми можемо скласти наступну таблицю похідних, в якій означає деяку функцію.

Таблиця похідних

1. , зокрема , ,

2. , зокрема

3. , зокрема

Приклад. .

Приклад.

.

Приклад.

Приклад. Знайти частинні похідні по x і по y функції двох змінних

.

Вважаючи фіксованим y, знаходимо частинну похідну по x:

.

Фіксуючи тепер x, знаходимо частинну похідну по y:

.

Приклад (логарифмічне диференціювання, або диференціювання за допомоги попереднього логарифмування). Нехай задано функцію

, ( 2 )

яка не є ні степеневою, ні показниковою (іноді її називають степенево-показни-ковою).

Прологарифмуємо ліву і праву частини рівності (2), а потім продиферен-ціюємо отриману рівність почленно (по арґументу x). Використовуючи правила диференціювання складеної функції і добутку, маємо:

Помножаючи тепер обидві частини на

,

знаходимо ,

.

Приклад. Застосуємо цей метод для диференціювання функції

.

Маємо послідовно

.

Метод попереднього логарифмування можна застосовувати не тільки до степенево-показникових функцій вигляду (2), а і в багатьох інших випадках. Як приклад знайдемо цим методом похідну добутку трьох функцій

яку ми вже знаходили в інший спосіб в п. 1.5.

Маємо

.

Для функцій декількох змінних існує безліч аналогічних формул. Одна з них дається наступною теоремою.

Теорема 2. Якщо функції

диференційовні, то існують частинні похідні складеної функції

,

які обчислюються за такими формулами:

. ( 3 )

Доведіть теорему самостійно за допомогою формули (16) з п. 2.1.4 і наступної схеми доведення:

Приклад. Знайти похідну степенево-показникової функції (2)

,

використовуючи формулу на кшталт (3).

Введемо позначення

.

Тоді, перш за все,

.

Першу частинну похідну ми знаходимо як похідну степеневої функції (основа степеня – змінна, а показник степеня - фіксований), а другу – як похідну показникової функції (основа степеня – фіксована, а показник степеня - змінний). Тепер знаходимо похідну складеної функції двох змінних, а саме:

Приклад. Знайти похідну функції

,

використовуючи правило диференціювання складеної функції декількох змінних (без попереднього логарифмування).

Послідовно маємо

.

Приклад. Записати формули для диференціювання складених функцій

( 4 )

Відповідь.

. ( 5 )

Приклад. Знайдімо ще в один спосіб похідну добутку трьох функцій

.

Спочатку знаходимо частинні похідні функції по :

.

Тепер за допомоги другої з формул (5) маємо

,

тобто отримуємо той же самий результат, якій вже двічі мали вище.