В. Формули Тейлора і Маклорена для довільної функції однієї змінної

Нехай задано довільну функцію .

Означення 12. Многочленом Тейлора n-го степеня, відповідним функції , називається такий многочлен

( 17 )

Означення 13. Різниця n раз диференційовної функції та її мно-гочлена Тейлора називається залишковим членом і позначається ,

( 18 )

З формул (17), (18) випливає, що

( 19 )

Теорема 12. Для (n + 1) раз диференційовної функції залишковий член може бути представлений в формі (формі Лагранжа)

, ( 20 )

де c – деяка точка між x і .

■Нехай, для визначеності, , а

( 21 )

допоміжна функція. Очевидно, що

. ( 22 )

Застосовуючи n раз теорему Коші (з послідовною появою точок таких, що ), дістаємо

■

Зауваження. Залежно від способу міркувань існує багато форм залишко-вого члена (в формі Лагранжа (20), Коші, Пеано¹ і т.ін).

Знаючи залишковий член , ми можемо подати функцію у вигляді

( 23 )

Означення 13. Формула (23), яка виражає функцію за допомогою її многочлена Тейлора і залишкового члена , називаєть-ся формулою Тейлора для цієї функції.

В частинному випадку формула називається формулою Маклоре-на.

Напишемо формули Тейлора і Маклорена з залишковим членом в формі Лагранжа в розгорнутому вигляді. Маємо:

( 24 )

( 25 )

Приклад. Розкласти функцію по формулі Маклорена.

Знаходимо похідні заданої функції та їх конкретні значення

, ,

після чого за формулою (25) отримуємо

. (26)

Поклавши

, ( 27 )

знаходимо наближене значення функції з абсолютною похибкою

. (28)

Приклад. Знайти наближене значення числа , покладаючи і в формулах (27), (28). Маємо

,

,

або ж

,

де всі десяткові цифри – точні.

Приклад. Розвинути по формулі Маклорена функції

.

Дамо розв"язок для першої з функцій, .

Похідні функції дорівнюють

загалом (див. п. 2.2.3)

Значення функції та її похідних в точці дорівнюють

,

а значення -ої похідної в точці c є

Тепер на підставі формули (25) дістаємо

. (27)

Таким же чином розвивається за формулою Маклорена друга функція. Зробіть всі викладки самостійно, ми ж наведемо загальний результат

.(28)

Приклад. З формули (27) випливає, що

з абсолютною похибкою

Отже, з точністю до 0.001

,

якщо

, або .

Зауваження. Покладаючи

,

Ми можемо написати формулу Тейлора (24) за допомогою диференціалів

( 29 )