В. Випадок функції, заданої параметрично

Функцію однієї змінної x часто-густо можна задати парою рівнянь

( 11 )

які містять допоміжну змінну (параметр) t. Такий спосіб задання функції називається параметричним.

Приклад. Рівняння

для визначають функцію, графіком якої є верхня частина еліпса (з півосями a, b); для вони визначають функцію з графіком – нижньою частиною того ж еліпса.

Приклад. Рівняння

визначають функцію, графіком якої є циклоїда.

Параметрично задану функцію можна подати у вигляді прямої залежності між x і y, якщо в рівняннях (11) одна з функцій має обернену. Нехай, наприклад, існує функція обернена функція для . Тоді ми може-мо виразити змінну y як функцію безпосередньо від x, а саме .

Проте для знаходження похідної від параметрично заданої функції зовсім не обов"язково виражати y (чи x) через x (відповідно через y).

Теорема 5. Якщо функції параметричного представлен-ня (11) функції диференційовні, а функція має обернену, то функція має похідну, яка дається наступною формулою:

. ( 12 )

■Використовуючи правила диференціювання спочатку складеної, а потім оберненої функцій, маємо

■

Приклад. Написати рівняння дотичної і нормалі до еліпса

x = a cos t , y= = b sin t

в точці, для якої t = t₀ = .

Рівняння дотичної і нормалі ми шукаємо у вигляді

.

Але

x₀ = cos t₀ = cos = , y₀ = sin t₀ = sin = ,

,

і шуканими рівняннями будуть такі:

y - = - ·(x - ), y - = .