В. Границя числової послідовності

Приклад. Нехай задано числову послідовність

.

Її поведінку подано таблицею 3

Table 3

З таблиці ми бачимо, що загальний член послідовності прямує до 2/3 = 0.(6). Ми позначаємо цей факт таким чином

і кажемо, що послідовність прямує (частіше - збігається) до 2/3.

Задля точного означення висловленого факту визначмо, для яких значень n виконується нерівність

,

якщо, як і вище, є як завгодно малим додатним числом. Маємо

Позначмо далі

натуральне число, яке є цілою частиною числа

.

Ми отримуємо, що для як завгодно малого додатного числа нерівність

виконується для всіх натуральних чисел n більших, ніж знайдене число N. Сим-волічно

.

Узагальнюючи міркування прикладу, ми можемо сформулювати означен-ня границі довільної числової послідовності.

Означення 17. Число b називається границею числової послідовності

{ : },

якщо для довільного як завгодно малого додатного Рис. 9 числа існує натуральне число N таке, що для всіх натуральних чисел n, більших, ніж N, виконується нерівність

.

В такому випадку пишуть

і кажуть, що числова послідовність прямує до b (або збігається до b, є збіжною до b). Символічна форма означення 17 є такою:

,

якщо

.

Геометричний сенс означення границі полягає в наступному: всі члени послідовності з номерами n > N лежать всередині -окола точки b, а всі відповідні точки, які зображають члени послідовності, знаходяться всередині заштрихованої 2 -смуги між прямими (рис. 9).