2.2.3. Похідні вищих порядків

Нехай є функцією однієї змінної, а - її похідна. Остан-ня є функцією від x, і ми можемо ставити питання про її диференціювання.

Означення 2. Похідна похідної функції однієї змінної називається похід-ною другого порядку (коротше – другою похідною) цієї функції і позначається

.

Аналогічно ми означаємо похідні третього, четвертого, n-го порядків (третю, четверту,…, n-ну похідні),

.

Приклад. Нехай дано степеневу функцію

.

Тоді

.

Приклад. Нехай

.

Тоді

і загалом

.

Аналогічно отримуємо для функції

.

Приклад. Знайти перші дві похідні функції, неявно заданої рівнянням

.

Розв"язання. Для знаходження похідної першого порядку скористаємося методом прямого диференціювання.

Приклад. Похідна другого порядку функції, заданої параметрично.

Нехай

.

Подвійним застосуванням формули (12) ми отримуємо

.

Таким чином,

. ( 13 )

Приклад. Знайти першу і другу похідні параметрично заданої функції

.

Для функцій декількох змінних розглядають частинні похідні другого, третього, … порядків.

Нехай, наприклад, задано функцію двох змінних . Для неї роз-глядають чотири частинні похідні другого порядку, а саме:

Частинні похідні називаються мішаними.

Приклад. Нехай

.

Тоді

Ми бачимо, що в цьому прикладі мішані частинні похідні другого порядку виявилися рівними. Це є загальним фактом. Саме, справедливою є така

Теорема 6. Якщо мішані частинні похідні неперервні в якійсь точці, то вони в цій точці є рівними.

.

Аналогічно означаються частинні похідні третього, четвертого, …, n-го порядків і формулюється теорема про рівність відповідних мішаних похідних.