А. Невизначеності типів

Теорема 5 (правило Бернуллі¹ - Лопіталя²). Границя відношення двох нм або нв (для будь-якого типу граничного переходу) дорівнює границі відношення їх похідних, якщо ця остання існує. Схематично

.

■Ми розглянемо найпростіший випадок, коли , а функції задовольняють умови теореми Коші.

Нехай існує границя

.

Тоді за допомогою теореми Коші отримуємо

оскільки і при .■

Зауваження. Історично склалось так, що правило Бернуллі-Лопіталя зви-чайно називають правилом Лопіталя.

Зауваження. Правило Лопіталя можна (а часто-густо навіть дуже корис-но) комбінувати з іншими методами розкриття невизначеностей. Зокрема, мож-на використовувати таблицю еквівалентних нескінченно малих.

Приклад.

Приклад.

Зауваження. Правило Лопіталя при необхідності можна застосовувати повторно декілька разів.

Приклад. Для будь-якого натурального n

Останні два приклади свідчать про те, що степенева функція прямує до нескінченності швидше, ніж логарифмічна, а показникова – швидше степеневої.