Б. Друга стандартна границя

Розглянемо наступну числову послідовність:

.

Наближені значення (до 0.001) деяких членів послідовності дає таблиця 4

Table 4.

Ми доходимо таких висновків (їх можна також довести строго): a) послі-довність зростає; b) вона обмежена зверху (наприклад, числом 3). Тому (за вла-стивістю 6 загальних властивостей границь) вона має границю, яку позначають літерою e (число Ейлера; його наближене значення ми будемо в змозі знайти пі-зніше, а зараз візьмемо до уваги, що e = 2.718281828459045…). Таким чином, ми можемо написати

.

Вірним є і такий більш загальний результат

,

де x може прямувати як до , так і до . Цей же результат можна записати і в дещо іншій формі:

.

Ми запишемо всі три формули разом і назвемо їх сукупність другою стандарт-ною границею

. ( 2 )

Зауваження. Друга стандартна границя дає нам ще один тип невизначе-ності, а саме

.

Така невизначеність, наприклад, виникає, якщо треба знайти границю степеня, основа якого прямує до 1, а показник – до нескінченності. В такому випадку ви-користання другої стандартної границі стає нам в великій пригоді.

Приклад. Знайти границю .

Розв"язання дається наступним ланцюжком перетворень.

.

З другої стандартної границі можна вивести деякі важливі наслідки.