1.2.1. Неперервність функції в точці а. Основні означення

Означення 1. Функція однієї або декількох змінних називається неперервною в точці , якщо:

1) функція визначена в точці і деякому її околі;

2) існує границя функції

в точці ;

3) ця границя дорівнює значенню функції в точці ,

. ( 1 )

На мові теорії границь це означає:

.

Приклад. Функція

неперервна в довільній точці a.

■На підставі означення неперервної функції ми повинні довести, що

Нехай - настільки мале, що , а число а, для визначеності, є додатним. Маємо

,

якщо

Таким чином на підставі означення границі

■

Аналогічно можна довести неперервність в будь-якій точці степеневої функції

з довільним натуральним показником.

Приклад. Функція

неперервна в довільній точці a

■ Потрібно довести, що

.

Для довільного маємо

Таким чином,

,

якщо

Це означає, що

■

Доведіть самостійно неперервність в довільній точці функції

.

Зауважимо, що в п. 1.2.1 за допомогою тригонометричного круга була фактично доведена неперервність тангенса в будь-якій точці . Там же відзначалася можливість аналогічним чином довести неперервність си-нуса, косинуса і котангенса (останнього – в довільній точці ).

Теорема 1. Функція однієї змінної неперервна в точці тоді і тільки тоді, якщо: a) існують ліва і права границі

,

функції в точці a; b) ці границі дорівнюють значенню функції в цій точці,

. ( 2 )

Справедливість теореми випливає з теореми 2 попереднього розділу (див п. 1.2.2).

Означення 2. Функція однієї змінної називається неперервною в точці зліва, якщо вона визначена в деякому інтервалі і . Вона називається неперервною в точці справа, якщо вона визначена в якомусь ін-тервалі і .

Таким чином, функція однієї змінної є неперервною в точці тоді і тільки тоді, якщо вона в цій точці неперервна як зліва, так і справа.

Означення 3. Для функції однієї змінної різниця

називається приростом арґументу x, а різниця

( 3 )

- приростом функції в точці .

Очевидно, що тоді і тільки тоді, якщо , .

Означення 4. Для функції n змінних різниці

,

називаються приростами її арґументів, n-вимірній вектор

- приростом її (n-вимірного) арґументу, а різниця

( 4 )

- приростом (так званим повним приростом) функції в точці .

Очевидно (як і для випадку ), тоді і тільки тоді, якщо , .

Теорема 2. Функція неперервна в точці тоді і тільки тоді, ко-ли з прямування до нуля приросту арґументу випливає прямування до нуля її приросту в цій точці, або якщо нескінченно малому приросту арґументу відповідає нескінченно малий приріст функції в точці .

Теорема випливає з означення границі функції в точці , якщо покласти b= .

Означення 5. Функція називається неперервною на деякій мно-жині, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Зокрема, функція однієї змінної є неперервною на відрізку , якщо: 1) вона неперервна в кожній точці інтервалу , 2) в точці - неперервна справа ( ), 3) в точці - неперервна зліва ( ).