2.1.4. Диференційовність і неперервність

Означення 4. Функція однієї змінної називається дифе-ренційовною в точці , якщо в цій точці існує її похідна .

Нехай функція є диференційовною в точці . На підставі озна-чення похідної і теорії границь

,

де є нм при . Отже, приріст функції, диференційовної в точці , можна подати в такій формі:

, ( 14 )

де , а є нм при .

Означення диференційовної функції декількох змінних більш тонке і по-в"язане з узагальненням формули (14). Обмежимось для простоти функцією двох змінних.

Означення 5. Функція двох змінних називається дифе-ренційовною в точці , якщо її повний приріст в цій точці, тобто вираз

(див. означення 4 з п. 2.1.1 Вступу до аналізу і рис. 4), може бути представле-ний в наступому вигляді:

, ( 15 )

де - якісь числа, - нм при . Нескладно довести, що

,

і тому

( 16 )

Теорема 1 (достатня умова диференційовності). Якщо функція має частинні похідні в деякому околі точки , які в самій точ-ці неперервні, то функція є диференційовною в цій точці.

Доведення теореми ми дамо дещо пізніше.

Можна показати (в більш повних курсах аналізу є відповідні приклади), що для диференційовності функції в точці не є достатнім одного тільки існування частинних похідних функції в цій точці.

Теорема 2 (необхідна, але недостатня умова диференційовності). Якщо функція диференційовна в точці, то вона неперервна в цій точці (але не нав-паки!).

■Нехай, наприклад, - функція однієї змінної, яка диференційов-на в точці , і нехай . З формули (14) випливає, що приріст функції в точці прямує до нуля,

,

що означає неперервність функції в точці .■

З ауваження. Однієї тільки неперервності функції недос-татньо для її диференційовності. Існують неперервні функції, які не є диференційовними принаймні в одній точці.

Приклад. Функція

Рис. 5

(рис. 5) неперервна в усіх точках , але її похідна не існує в точці .

■Маємо

,

,

і тому не існує.

Зауважимо, що для графіка функції точка є кутовою. Аналогічна обставина справедлива для графіка будь-якої функції, яке не має похідної в тій чи іншій точці.