1.1.4.Стандартні границі а. Перша стандартна границя

Першою стандартною називається така границя

( 1 )

■Використовуючи тригонометричний круг, ми зу-пинимось на випадку (рис. 14). Знаходячи пло-щі трикутників AOC, AOB та кругового Рис. 14 сектора OAmC, ми бачимо, що

.

Звідси

,

або

.

Ця подвійна нерівність залишається вірною і при .

Оскільки , ми от-римуємо результат (1) на підставі тео- Рис. 15 реми про проміжну функцію (теореми про двох міліціонерів).■

Графік функції

зображено на рис.15 Наслідки.

1. .

Доведімо третю з цих границь. Решту доведіть самостійно.

■ ■

2. При функції є нескінченно малими (нм), еквівалентними своєму арґументу x:

 x,  x,  x,  x (якщо ) .

Приклад. За властивістю 3 “арифметичних” властивостей границь

Приклад. Знайти границю.

 .

Оскільки (на підставі формул зведення)

,

ми маємо розкрити тут невизначеність типу . За “арифметичними” влас-тивостями границь (з використанням формули про різницю кубів двох чисел, яка дорівнює добутку їх різниці і неповного квадрата їх суми)

,

оскільки

.

Тепер введімо заміну змінної звідки

.

Таким чином,

Тут для фіксації еквівалентності ми використали позначення , бо в ре-дакторі формул на ПК символ "" відсутній.