2.3.4. Формули Тейлора і Маклорена а. Формули Тейлора і Маклорена для многочлена

Нехай дано многочлен n-го степеня

. ( 6 )

Диференціюючи його n разів, дістаємо

( 7 )

Покладаючи в формулах (6), (7) x = 0, ми можемо виразити коефіцієнти многочлена через значення його і всіх його похідних в точці x = 0, саме

,( 8 )

. ( 9 )

Означення 9. Формула (9) називається формулою Маклорена (або Тейлора¹ - Маклорена²) для многочлена (6). Ми довели наступну теорему.

Теорема 10. Кожний многочлен (6) може бути представлений формулою Маклорена (Тейлора - Маклорена) (9) (з коефіцієнтами (8)).

Якщо многочлен n-го степеня поданий у вигляді розвинення за степенями різниці , саме

, ( 10 )

то тим же шляхом доводиться, що

, ( 11 )

( 12 )

.

Означення 10. Формула (12) називається формулою Тейлора для много-члена (10).

Теорема 11. Кожний многочлен вигляду (10) може бути поданий форму-лою Тейлора (12) (з коефіцієнтами (11)).

Зауваження. Формула Маклорена (9) є частинним випадком формули Тейлора (12) для .