Оглавление

Введение ………………………………………………………………...7

1. Модели нелинейных динамических систем ………………………10

1.1. Потоки …………………………………………………………10

1.2. Каскады ………………………………………………………..13

1.3. Связь уравнения движения и отображения …………………15

1.3.1. Непрерывное время ……………………………………15

1.3.2. Дискретное время ……………………………………...16

1.4. Уравнения в вариациях ……………………………………….17

1.5. Диссипативные и консервативные системы ………………...18

2. Регулярная динамика ……………………………………………….20

2.1. Особые точки ………………………………………………….20

2.1.1. Основные определения ………………………………..20

2.1.2. Классификация особых точек линейных

векторных полей ………………………………………..21

2.1.3. Классификация особых точек нелинейных

векторных полей ………………………………………...23

2.1.4. Особые точки каскада ………………………………....29

2.2. Периодические решения ……………………………………...31

2.2.1. Переход к системе с постоянными коэффициентами .31

2.2.2. Линеаризация уравнений

с периодическим решением ……………….……………34

2.2.3. Построение сечения Пуанкаре ………………………..35

2.2.4. Периодические решения (циклы) каскадов ………….37

2.3. Инвариантные, предельные и притягивающие множества…38

2.3.1. Инвариантные множества (многообразия) …………..38

2.3.2. Предельные множества ………………………………..41

2.3.3. Притягивающие множества …………………………..42

2.3.4. Аттрактор ………………………………………………43

2.3.5. Поглощающее множество …………………………….45

2.4. Устойчивость ………………………………………………….48

2.4.1. Понятие устойчивости ………………………………...48

2.4.2. Устойчивость по Ляпунову …………………………...50

2.4.3. Устойчивость по Пуассону …………………………...57

2.4.4. Структурная устойчивость ……………………………58

3. Хаотическая динамика ……………………………………………...62

3.1. Признаки хаотического поведения …………………………..62

3.1.1. Существенная зависимость от начальных данных ….63

3.1.2. Инвариантная мера ……………………………………64

3.1.3. Эргодичность и перемешивание ……………………..65

3.1.4. Энтропия ……………………………………………….67

3.1.5. Автокорреляционная функция ………………………..68

3.1.6. Фрактальная структура странных аттракторов ……...69

3.2. Характеристические показатели Ляпунова …………………70

3.2.1. Непрерывные динамические системы ……………….71

3.2.2. Дискретные динамические системы …………………77

3.2.3. Характеристические показатели и изменение

фазового объема ………………………………………...81

3.2.4. Свойства характеристических

показателей Ляпунова …………………………………..84

3.3. Инвариантные меры динамических систем …………………87

3.3.1. Типы вероятностных мер ……………………………..87

3.3.2. Инвариантная мера. Оператор

Перрона–Фробениуса ………………………………………..91

3.3.3. Эргодическая мера …………………………………….97

3.3.4. Физическая мера ……………………………………...100

3.3.5. Устойчивость и сходимость мер …………………….102

3.4. Эргодичность и перемешивание ……………………………103

3.4.1. Эргодичность …………………………………………103

3.4.2. Перемешивание ………………………………………106

3.4.3. Перекладывание …………………………………...…109

3.5. Энтропия ……………………………………………………..110

3.5.1. Метрическая энтропия (энтропия

Колмогорова–Синая) ……………………………………….111

3.5.2. Энтропия каскада …………………………………….113

3.5.3. Обобщенная энтропия (энтропия Реньи) …………...114

3.5.4. Топологическая энтропия ……………………………114

3.5.5. Связь энтропии с характеристическими

показателями Ляпунова …………………………………….115

3.5.6. Время предсказания ………………………………….116