3.3.1. Типы вероятностных мер

Мера – это отображение или функция: (множество ) (действительное неотрицательное число ). Рассмотрим свойства меры для множеств на плоскости, исходя из понятия площади прямоугольника.

Каждому прямоугольнику из класса (класса всех прямоугольников на плоскости) поставим в соответствие число  – его меру. При этом выполняются следующие условия:

1) мера принимает действительные неотрицательные значения;

2) мера аддитивна, т. е. если и при , то .

Эти свойства носят общий характер и в теории меры множеств абстрактной природы повторяются без существенных изменений.

Определение 3.3. Мерой множества называется число , удовлетворяющее следующим условиям:

‑ для любого измеримого множества (мера определена) мера принимает положительные значения ;

‑ если , то ;

‑ мера пустого множества равна нулю .

Определение 3.4. Если мера пространства, которому принадлежат измеримые множества (в дальнейшем это будет фазовое пространство ), равна единице , то мера называется вероятностной мерой.

Для множеств в Евклидовом пространстве наиболее известна мера Лебега . С ее помощью определяется интеграл Лебега, так что .

Если взять какую-либо интегрируемую функцию , то можно ввести другую меру . Функция учитывает неравноценность различных частей пространства. Например, если в некоторой области , то, даже если , то мера может быть равна нулю . Если найти такую функцию , что , то на прямой линии будет определена некоторая вероятностная мера .

Определение 3.5. Носителем меры называется множество , на котором она “сосредоточена”, т. е. минимальное множество, дополнение которого имеет нулевую меру.

В дальнейшем будем предполагать, что  – евклидово пространство. На нем принято выделять три типа вероятностных мер.

1. Абсолютно непрерывная мера. Она определяется путем задания некоторой непрерывной функции , называемой плотностью вероятности. В этом случае мера множества определяется как интеграл вида . Носителем непрерывной меры должно быть множество с ненулевой мерой Лебега.

2. Дискретная мера. Она сосредоточена на конечном или счетном множестве точек , каждой из которых придается значение вероятности – число . Мера любого множества в этом случае определяется как сумма вероятностей точек, принадлежащих ему. Дискретную меру также можно представить в виде плотности вероятности, если воспользоваться ‑функцией:

.

Интегральное представление меры множества остается таким же, как и для непрерывной меры.

3. Сингулярная мера. Если мера не является ни дискретной, ни непрерывной, ни их комбинацией, то она называется сингулярной. Как и дискретная, она сосредоточена на множестве, у которого мера Лебега равна нулю, но само множество не является ни многообразием (локально не эквивалентно евклидову пространству меньшей размерности), ни счетным множеством точек. Основной трудностью описания таких мер является отсутствие интегрального представления – ни обычные, ни обобщенные функции для этого непригодны. Меру любого множества определить можно, а разумную плотность вероятности – нет.

Пример. Рассмотрим канторово множество, схема построения которого приведена на рис. 3.2. Первоначально отрезок делится на три равные части, и вырезается средняя часть ‑  . С каждым из оставшихся отрезков поступают аналогично. Эта процедура повторяется бесконечное число раз. На первом шаге имеем два отрезка длиной каждый. На втором – четыре длиной и т. д. На ‑м шаге имеем не связанных друг с другом отрезков длиной .

Рис. 3.2. Канторово множество

В пределе при на исходном отрезке останется множество точек, называемое канторовым множеством. Это множество нигде не плотно на отрезке, т. е. не содержит ни одного интервала сколь угодно малой длины. Но оно замкнуто и плотно в себе, т. е. не содержит изолированных точек, и, следовательно, является совершенным множеством. Более того, канторово множество имеет мощность континуума, но нулевую борелевскую меру. В чем легко можно убедиться, вычислив сумму длин всех вырезанных отрезков:

.

Построим сингулярную меру на канторовом множестве. Изначально припишем отрезку меру . На первом шаге каждому из двух отрезков длины – меру , на втором шаге каждому из четырех отрезков длины – меру , и.т.д. На ‑м шаге каждому из отрезков длины – меру . То, что получится при , и будет сингулярной мерой. Вероятность каждой точки канторова множества определить нельзя, , плотность вероятностей тоже, поскольку . В то же время любому отрезку конечной длины можно сопоставить вполне определенное значение меры.

Таким образом, в случае сингулярных мер плотности вероятности не вводят, а пишут просто .

Несмотря на неудобство описания, сингулярные меры очень широко встречаются в хаотической динамике, поскольку носителем меры зачастую являются фрактальные множества. Чтобы избежать сингулярных мер и получить вместо них абсолютно непрерывные меры, на динамическую систему иногда накладывают малый шум.