3.3.5. Устойчивость и сходимость мер

Когда динамическая система обладает хаотическим поведением, у нее наряду с аттрактором может существовать бесконечное число неустойчивых периодических циклов. Каждый из этих неустойчивых циклов является носителем своей эргодической меры, так что эргодических мер оказывается бесконечно много. С другой стороны, очевидно, что не все меры существенны, и наблюдаемому в эксперименте (вычислительном или физическом) поведению отвечает только одна из них. Такие меры и получили название физических мер. Они связаны с определенными свойствами устойчивости. Как устойчивое инвариантное множество обладает окрестностью, все точки которого стремятся к нему при , так и малые возмущения устойчивой меры должны “затухать” с ростом . Очевидно, что носителем такой устойчивой меры должно быть притягивающее множество, аттрактор.

Существует два способа введения понятия устойчивости меры. Первый связан с добавлением бесконечно малого случайного шума, амплитуда которого стремится к нулю.

Другой способ связан с исследованием сходимости последовательности мер под действием оператора Перрона–Фробениуса. На этом пути возникают трудности. Первая трудность определяется необходимостью исследования спектра оператора Перрона–Фробениуса, а вторая – с тем, что пределом последовательности непрерывных мер часто бывает сингулярная мера. В этом случае уравнение Перрона–Фробениуса следует понимать в обобщенном смысле и использовать интегрирование по мере, а не по плотности вероятности.

Скорость сходимости мер зависит от их гладкости. Например, непрерывные распределения “хорошо” сходятся к инвариантным мерам. Распределение в виде ‑функции сходиться вообще не будет, оставаясь таким всегда.