2.3.4. Аттрактор

В настоящее время нет единого определения аттрактора. Это связано, в первую очередь, с тем, что до сих пор неясно как устроены аттракторы динамических систем при хаотических режимах. Не все притягивающие множества являются аттракторами, а только те, которые обладают свойством неразложимости на отдельные компактные инвариантные подмножества. Приведем два наиболее популярных на сегодняшний день определения аттрактора.

Определение 2.14. Аттрактором называется неразложимое притягивающее множество.

Определение 2.15. Аттрактором называется притягивающее множество , содержащее всюду плотную траекторию, или, содержащее точку , для которой .

Согласно этим определениям, в рассмотренном выше примере отрезок аттрактором не является, а аттракторов два – неподвижные точки . Областью притяжения каждого из них является соответствующая полуплоскость, не включающая ось . Если аттрактор единственный, и его областью притяжения является все фазовое пространство, его называют универсальным, или глобальным.

Аттракторы нелинейных динамических систем бывают простыми (регулярными) и сложными (нерегулярными). В современной литературе нет строгого определения регулярности аттрактора. Интуитивно это понятие связано с достаточно простым поведением решений систем дифференциальных уравнений на таком аттракторе и с достаточной гладкостью аттрактора. Считается, что самым сложным на регулярном аттракторе может быть эргодическое движение.

Движение системы дифференциальных уравнений по ее инвариантному множеству будет эргодическим, если относительное время, проведенное фазовой траекторией внутри любой области этого множества, равно относительному объему этой области и не зависит от выбора начальных условий. С течением времени фазовая траектория равномерно и плотно покрывает инвариантное множество. Действие фазового потока на малую область сводится к простому перемещению этой области по множеству. Как и в случае периодического движения, любые две близкие в начальный момент траектории остаются близкими и во все последующие моменты времени.

Таким образом, простыми (регулярными) аттракторами принято считать устойчивые (асимптотически устойчивые) особые точки, устойчивые (орбитально асимптотически устойчивые) предельные циклы и устойчивые инвариантные торы. Все эти аттракторы являются подмногообразиями фазового пространства (например, предельный цикл и двумерный инвариантный тор – это, соответственно, одномерное и двумерное подмногообразия). Динамика систем с такими аттракторами не является хаотической, а носит асимптотически сходящийся, периодический или эргодический характер. Главное – это то, что траектории систем с простыми (регулярными) аттракторами глобально устойчивы по отношению к малым возмущениям, что означает их глобальную предсказуемость.

Определить тип регулярного аттрактора, к которому принадлежит исследуемая траектория системы, позволяют характеристические показатели Ляпунова системы первого приближения, полученной в результате линеаризации вдоль этой траектории. Если все характеристические показатели Ляпунова отрицательны, то траектория (аттрактор) является устойчивой особой точкой (узлом или фокусом). Если один (старший) показатель равен нулю, а все остальные показатели отрицательны, то траектория, скорее всего, является устойчивым предельным циклом.