part1

3.3.2. Инвариантная мера. Оператор Перрона‑Фробениуса

Рассмотрим преобразование плотности вероятности при замене переменных в случае, когда фазовое пространство одномерно, например, представляет собой прямую линию или отрезок. Пусть – случайная величина с плотностью распределения . Построим новую случайную величину и найдем ее плотность вероятности . Выберем некоторое значение и маленький отрезок . Мера (вероятность) этого отрезка будет равна . Найдем все точки такие, что , их может быть несколько, поскольку монотонность функции не предполагается. В отрезок попадут точки отрезков , построенных около точек . Мера каждого отрезка равна . Мера отрезка должна быть равна сумме мер всех , т. е.

Так как , то из последнего соотношения получаем

В случае пространств более высокой размерности и при замене переменных соотношение остается похожим, но вместо формулы преобразования длин используется формула преобразования бесконечно малых объемов, т. е. вместо производной используется якобиан преобразования :

. (3.17)

Используя свойства ‑функции, формулу (3.17) можно записать в виде свертки

. (3.18)

Соотношение (3.18) получается при замене переменной на переменную в интеграле, тогда , и появляется сумма по всем корням уравнения . Согласно свойствам ‑функции получаем

Рассмотрим дискретную динамическую систему

. (3.19)

Пусть на ‑м шаге в фазовом пространстве определена плотность вероятности . Будем рассматривать каскад как замену переменных, переход от переменной к переменной , тогда для преобразования плотности вероятности, по формуле (3.18) получим

Определение 3.6. Оператор , определяемый уравнением

называется оператором Перрона ‑ Фробениуса для отображения .

Это линейный несамосопряженный оператор со сложной структурой спектра. Подобно тому, как для некоторой начальной точки динамическая система порождает последовательность точек (траекторию), она порождает, и последовательность вероятностных мер. В этой связи важными оказываются два понятия. Это аналоги неподвижной точки и сходимости к асимптотически устойчивой неподвижной точке – инвариантная мера и сходимость мер.

Определение 3.7. Плотность вероятности называется инвариантной, если она не меняется под действием оператора Перрона–Фробениуса .

Инвариантная мера должна удовлетворять уравнению Перрона–Фробениуса

Однако в случае сингулярной меры плотность вероятности не существует, поэтому чаще используется несколько иное определение инвариантной меры: мера множества должна быть равна мере его полного прообраза.

Определение 3.8. Мера называется инвариантной мерой динамической системы (3.19), если для любого измеримого множества выполнено

Если отображение обратимо, то каждая точка имеет только по одному образу и прообразу, и их можно менять местами. В этом случае для инвариантной меры выполняется:

Пусть задана непрерывная динамическая система , определенная дифференциальным уравнением . Такая динамическая система для каждого порождает каскад , поэтому определение инвариантной меры для каскада переносится на потоки без изменений. Рассматривая непрерывную плотность вероятности, запишем аналог уравнения Перрона–Фробениуса для потока . Из уравнения (3.18) имеем:

Продифференцируем это соотношение по переменной и положим . Учитывая, что , и , получим

Здесь линейный оператор , определяемый по формуле , а . Интегрируя по частям и “перебросив” дифференцирование с ‑функции на функцию , получим

Окончательно имеем

. (3.20)

Уравнение (3.20) называется уравнением непрерывности. Такое же уравнение описывает поток сжимаемой жидкости, движущийся со скоростью , который “увлекает распределение вероятности за собой”, причем играет роль плотности этой жидкости.

Инвариантная плотность вероятности не зависит от времени, т. е. она должна удовлетворять уравнению .

Пример. Рассмотрим дискретное отображение (3.19)

где – логистическое квадратичное отображение, переводящее точки в точки . Зададим на оси интервал начальных данных, распределенных с плотностью . Отображение переводит интервал в интервал на оси , на котором значения распределены с плотностью . Алгоритм вычисления оператора Перрона–Фробениуса представлен на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Вычисление оператора Перрона–Фробениуса

Найдем оператор Перрона–Фробениуса, переводящий плотность в плотность . Так как отрезок состоит из точек, являющихся образами точек из отрезка при рассматриваемом отображении, то имеем

Пусть – интервал оси с переменным верхним пределом. Оператор Перрона–Фробениуса можно представить в виде

Как видно, отрезок – несвязное множество, представляющее собой теоретико‑множественную сумму (объединение) двух подынтервалов , которые при равны

, .

Уравнение Перрона–Фробениуса в этом случае имеет вид

Воспользовавшись формулой дифференцирования интеграла по переменному верхнему пределу

получим

Определим, как изменяется исходное равномерное распределение под действием найденного оператора Перрона–Фробениуса. Подставляя распределение в последнее соотношение, получаем

Эволюция исходного распределения под действием оператора Перрона–Фробениуса для логистического квадратичного отображения приведена на рис. 3.4 (а – исходное равномерное распределение , б – эволюция исходного распределения .)

а) б)

Рис.3.4. Преобразование исходного распределения

под действием оператора Перрона–Фробениуса

Инвариантная плотность – это доля всех итераций, попадающих в точку :

Она показывает, с какой плотностью итерации отображения размазаны по оси .

Содержание