2.1.1. Основные определения

Особая точка (неподвижная точка, стационарная точка, точка покоя, положение равновесия) системы дифференциальных уравнений (1.1) – это особая точка соответствующего векторного поля .

Определение 2.1. Особой точкой векторного поля называется точка фазового пространства, в которой вектор поля обращается в нуль.

Пусть  – особая точка дифференцируемого векторного поля , определяющего правую часть автономной системы (1.1), а  – производная отображения . Система линейных дифференциальных уравнений

(2.1)

называется линеаризацией системы (1.1) в особой точке , поле  – линейной частью поля в точке , оператор  – оператором линеаризации. Матрица оператора  – матрица Якоби, вычисленная в точке ; .

Определение 2.2. Особая точка векторного поля называется невырожденной, если оператор линейной части поля в этой точке невырожден.

Оператор линейной части поля невырожден, если соответствующая ему матрица Якоби невырождена, т. е., например, ее определитель не равен нулю .

Определение 2.3. Особая точка системы дифференциальных уравнений (1.1) называется гиперболической, если ни одно собственное значение оператора (матрицы) линейной части поля в этой точке не лежит на мнимой оси.

Определение 2.4. Две системы дифференциальных уравнений топологически эквивалентны в окрестности особых точек, если существует гомеоморфизм (взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение), который переводит особую точку первой системы и траектории, лежащие в некоторой ее окрестности, в особую точку и траектории второй системы с сохранением ориентации траекторий.

Теорема 2.1. (теорема Гробмана–Хартмана). Непрерывно дифференцируемое векторное поле с гиперболической особой точкой в некоторой окрестности этой точки топологически эквивалентно своей линейной части.

Из теоремы 2.1. следует, что качественное поведение решений автономной системы дифференциальных уравнений (1.1) в окрестности гиперболической особой точки полностью определяется поведением решений системы линейных уравнений (2.1) с постоянным оператором (матрицей) линейной части поля в этой точке.