3.4.2. Перемешивание

Для иллюстрации перемешивания приведем классический пример Гиббса. В начальный момент рассматривается сосуд, на треть заполненный чернилами, а на две трети – водой, причем эти жидкости не перемешаны. После энергичного взбалтывания содержимого сосуда, спустя некоторое время (время перемешивания) любая часть его объема будет на треть состоять из чернил, и на две трети – из воды. Формализация подобного процесса при условии, что чернила и вода не разрываются на отдельные капли, приводит к понятию перемешивания.

Перемешивающий поток имеет место, если в фазовом пространстве близкие в начальный момент времени точки будут двигаться по сильно расходящимся траекториям.

Рассмотрим две подобласти и области с мерами (объемами) , и , соответственно. Будем считать, что область неподвижна, а область эволюционирует с течением времени под действием непрерывного отображения , порождаемого системой дифференциальных уравнений (3.1), т. е. . Пусть представляет собой совокупность всех частей , оказавшихся в момент времени внутри неподвижной области .

Определение 3.10. Динамическая система (3.1) называется перемешивающей, а фазовый поток – перемешивающим, если при существует предел отношения меры (объема) области к мере (объему) области , равный

. (3.28)

Изменение исходной области под действием перемешивающего потока представлено на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Действие перемешивающего фазового потока

Определение перемешивающей динамической системы имеет следующий смысл. Если рассматриваемая динамическая система консервативна, то мера области сохраняется . Отношение есть доля объема, занимаемого областью в области . Отношение есть доля объема, занимаемая в области попавшими внутрь нее в момент частями области . Определение (3.28) утверждает, что в пределе при эти два отношения совпадают независимо от размера, формы и взаимного расположения областей и .

Из определения перемешивающих систем можно сделать ряд выводов о характере поведения таких систем. Во-первых, область можно сделать сколь угодно малой и поместить в любое место области . Если выполнено соотношение (3.28), то это означает, что с ростом части области можно найти с одинаковым успехом в любой точке фазового пространства, доступного для движения системы. Следовательно, область с течением времени превращается в сколь угодно тонкую паутинку, пронизывающую всю область фазового пространства. Объем этой паутинки равен объему исходной области . Паутинка равномерно и однородно пронизывает фазовое пространство. Внутри любой, наугад взятой области, нити паутинки занимают одну и ту же относительную долю объема.

Исходную область можно выбрать сколь угодно малой и расположить в любой доступной области фазового пространства. Тем не менее, как следует из (3.28), при эта область превратится в пронизывающую все паутинку. Это означает, что в динамической системе с перемешиванием фазовые траектории всегда неустойчивы по отношению к малым возмущениям и разбегаются с течением времени.

Во-вторых, поведение системы с перемешиванием непредсказуемо. Так как малая область фазового пространства с течением времени трансформируется во все пронизывающую паутинку, то малая область неопределенности начальных условий при достаточно больших временах наблюдения заполнит всю доступную область фазового пространства. При достаточно большом времени наблюдения для любой точки области фазового пространства найдется сколь угодно малая окрестность, содержащая фазовую траекторию, начинающуюся в малой окрестности начальной точки. Таким образом, если в начальный момент времени положение фазовой точки было известно с конечной точностью, т. е. известна принадлежность точки некоторой области с характерным размером , то сказать, где она окажется через достаточно длительный промежуток времени, невозможно.

В-третьих, перемешивание приводит к необратимости. Любая неопределенность начальных условий через некоторое время заполняет всю область . Зная, что в момент времени система находится в некоторой малой окрестности точки фазового пространства, мы не можем указать начальное состояние системы, так как к моменту времени в окрестность может попасть траектория, начинающаяся в малой окрестности любой начальной точки.

Поскольку математическое моделирование систем можно производить лишь с конечной точностью, то для систем с перемешиванием детерминированное описание при больших временах оказывается лишенным смысла, более адекватным будет стохастическое описание.

При эволюции диссипативной динамической системы фазовый объем с течением времени сокращается. Фазовые траектории притягиваются к некоторому множеству (аттрактору). В случае хаотического режима фазовая траектория на самом аттракторе выглядит как клубок перепутанных нитей, и малое возмущение траектории может существенно изменить направление движения. Поэтому диссипативная система со странным аттрактором характеризуется глобальным сжатием фазового объема и локальной неустойчивостью фазовых траекторий.