3.4.1. Эргодичность

Рассмотрим консервативную динамическую систему, для которой имеет место сохранение с течением времени фазового объема. Пусть  – ее фазовые переменные и  – интегрируемая, зависящая от фазовых координат функция.

Средним по времени значением функции называется величина

. (3.24)

Обозначив через  – фазовый поток, для которого справедливо , получим

.

Т. е. среднее значение функции по времени зависит от начального состояния. Однако, для почти всех (кроме множества меры нуль) начальных условий функция является инвариантной (не меняется при перенесении начального условия вдоль траектории). Пусть движение системы в фазовом пространстве происходит в ограниченной области с объемом .

Фазовым средним значением функции называется величина

. (3.25)

Здесь .

Движение системы называется эргодическим, а сама система – эргодической, если для любой интегрируемой функции и для любых начальных условий имеет место равенство временных (3.24) и фазовых (3.25) средних значений.

. (3.26)

Таким образом, для эргодической системы среднее по времени (3.24) не зависит от начальной точки траектории.

Рассмотрим область , и пусть  – характеристическая функция множества :

. (3.27)

Функция (3.27) интегрируема

.

Фазовое среднее характеристической функции (3.27) есть “относительный объем” области . Если движение динамической системы обладает свойством эргодичности, то относительное время, проведенное фазовой траекторией внутри любой области , равно относительному объему этой области и не зависит от выбора начальных условий. Иными словами, фазовая кривая эргодической системы равномерно и плотно заполняет весь объем области .

Относительный объем или относительная площадь некоторой области представляет собой меру этой области. Используя понятие меры, определение эргодичности (3.26) можно записать как

,

где интегрирование ведется по всей доступной области фазового пространства. При этом

.

Примером эргодического поведения может служить квазипериодическое движение гамильтоновой системы, состоящей из двух гармонических осцилляторов с иррациональным отношением частот.

Действие фазового потока на малую область , принадлежащую поверхности двумерного тора представлено на рис. 3.5.

Характерной особенностью эргодического движения Гамильтоновой системы является сохранение не только объема, но и формы исходной области. Фазовая кривая плотно покрывает поверхность тора.

Рис. 3.5. Эргодическое движение на двумерном инвариантном торе