3.2.2. Дискретные динамические системы

Пусть задана динамическая система с дискретным временем

, (3.8)

где  ‑ начальные данные. Оценим изменение траектории при бесконечно малом изменении начальных данных . Рассмотрим траектории и . По заданному начальному возмущению можно найти , решая соответствующую линейную систему

,

где  – матрица Якоби. Переход от бесконечно малых величин к конечным значениям (например, считая ) позволяет свести исследование устойчивости системы (3.8) к исследованию устойчивости линейной системы

. (3.9)

Начальное возмущение определяет направление, в котором мы выбираем бесконечно близкую траекторию в точке . Векторы и принадлежат разным пространствам: принадлежит фазовому пространству динамической системы, а  – касательному пространству в точке .

Для системы (3.9) решение бывает удобно выразить через нормированную фундаментальную матрицу , которая удовлетворяет тем же самым разностным уравнениям

. (3.10)

Тогда решение системы (3.9) можно записать в виде . Для одних направлений выбранного вектора близкие траектории будут экспоненциально удаляться, для других – экспоненциально сближаться, для третьих – расстояние примерно остается тем же или меняется медленнее, чем экспоненциально. Для неподвижной точки когда , эти случаи соответствуют собственным значениям . Здесь – собственные значения матрицы .

В случае дискретной системы характеристические показатели Ляпунова определяются из следующих соображений. Отрезок длины после итераций в случае экспоненциального разбегания фазовых траекторий будет иметь длину порядка , т. е.

.

Из последнего соотношения и следует формула для определения характеристического показателя дискретной системы

. (3.11)

Величина определяет «среднее» растяжение расстояния между близкими начальными точками за одну итерацию.

Воспользовавшись формулой для производной сложной функции

,

где , можно соотношение (3.11) для характеристического показателя представить в виде

.

Если  – матрица Якоби для дискретного отображения , тогда характеристические показатели могут быть определены следующим образом

,

 – собственные значения матрицы Якоби дискретного отображения .

Фундаментальная матрица дискретной системы (3.9) удовлетворяет разностному уравнению (3.10), и для определителя Вронского имеем . Следовательно, показатель Ляпунова ‑го порядка равен

,

а при имеем

,

где  ‑ среднее по времени от функции .

Пример. Рассмотрим треугольное отображение, которое задается соотношением

,

где . Модуль производной отображения равен , а значение показателя Ляпунова . При показатель Ляпунова , и в системе наблюдается хаотический режим. При , и в системе есть притягивающая точка, т. е. хаоса не возникает.

Пример. Рассмотрим отображение Хенона

, , .

Определитель матрицы Якоби не зависит от вектора . Он и будет средним значением, поэтому характеристический показатель второго порядка равен

.

Пример. Рассмотрим отображение «кот Арнольда»

.

Отображение («кот Арнольда») совпадает со своим касательным отображением , причем , т. е. оба отображения сохраняют площадь. Из характеристического уравнения

получаем собственные значения и соответствующие им собственные векторы

, ,

.

Растяжение происходит вдоль направления , а сжатие – вдоль ортогонального направления . При этом . Чтобы подчеркнуть экспоненциальный характер растяжения, можно записать собственные значения в виде

,

где значение одинаково для всех начальных условий. Поэтому характеристический показатель не зависит от траектории .