3.3.3. Эргодическая мера

Инвариантная мера не меняется под действием отображения, порождающего динамическую систему. Ее носителем должно быть некоторое инвариантное и неблуждающее множество. Простейшим примером являются особые точки. Очевидно, что мера, сосредоточенная на них, является дискретной и имеет вид . Это справедливо как для каскадов, так и для потоков. Если имеется несколько особых точек, устойчивых или неустойчивых, то каждая из них служит носителем своей собственной меры. Более того, можно построить сколь угодно много комбинированных мер, выбирая несколько точек с различными вероятностями, но такие меры обычно не представляют интереса, так как для них не выполняются эргодические теоремы.

Определение 3.9. Инвариантная мера называется эргодической, если ее нельзя представить в виде комбинации нескольких различных инвариантных мер.

Или иначе, если некоторое инвариантное множество имеет положительную меру , то мера его дополнения должна быть равна нулю: .

Пример. Рассмотрим уравнение . У него есть три особые точки . Соответственно, существует три эргодические меры , . Кроме того, можно построить различные неэргодические инвариантные меры вида

.

Мера не будет эргодической, так как мера инвариантного множества равна , а мера его дополнения равна .

Более сложным примером неблуждающего множества является периодическая траектория – цикл. Для цикла мера также будет дискретной. Если цикл образуют точки , то инвариантная мера будет иметь вид

.

Сложные инвариантные множества, такие как странные аттракторы, имеют сингулярную меру.

Остановимся кратко на проблеме существования инвариантной меры. Пусть – компактное полное метрическое пространство и – непрерывное отображение в себя. Для произвольной начальной меры построим меры , где , и их средние арифметические . Поскольку пространство вероятностных мер на слабо компактно, то из последовательности можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность . Покажем, что мера  – инвариантная мера для отображения . Для этого достаточно установить, что для любой непрерывной функции выполняется:

.

Вычислим

=

.

Метод, который был рассмотрен, появился в работе Боголюбова–Крылова. Приведем теорему, часто используемую при исследовании конкретных задач.

Теорема Боголюбова–Крылова (существования инвариантной меры). Если компактное множество инвариантно относительно динамической системы , то существует хотя бы одна вероятностная мера ( ), инвариантная относительно . Инвариантная мера может быть выбрана таким образом, что она будет неразложимой или эргодической.

Очень важным следствием инвариантности меры является, так называемая эргодическая теорема Биркгофа–Хинчина. Пусть  – пространство с мерой,  – абстрактное множество (фазовое пространство динамической системы),  –  ‑алгебра его подмножеств,  – эргодическая инвариантная мера, а  – измеримая функция.

Эргодическая теорема Биркгофа–Хинчина. Для  – почти каждой точки и :

1) в случае каскада существует предел

;

2) в случае потока существуют и равны пределы

.

При этом для любого допустимого и .

Функция называется средним по времени или средним вдоль траектории. Эргодическая теорема утверждает о существовании средних значений по времени.

Эргодическая теорема. Если – эргодическая инвариантная мера, то почти для всех по мере и для любой измеримой непрерывной функции существует среднее по времени, которое равно среднему по инвариантной мере:

.

Иногда этот результат записывают в виде

. (3.21)

Здесь имеется в виду слабая сходимость интегралов.