logo
part1

2.3.5. Поглощающее множество

Во многих практических случаях аттрактор найти не удается, но важно знать, существует ли он. Для этого используется понятие поглощающего множества, которое построить гораздо проще, чем аттрактор. Допустим, что удалось найти множество фазового пространства, в которое траектории входят, а обратно уже не выходят, остаются в нем навсегда. Если множество компактно (или в случае конечномерного фазового пространства просто ограничено), то в нем все траектории должны стремиться к некоторому предельному множеству, которое можно обозначить . Существует теорема, утверждающая, что  – притягивающее множество.

Пусть задано множество (возможно, что ). Положительно инвариантное множество (т. е. при ) называется поглощающим в , если любая траектория, начинающаяся в точке , в течение конечного времени входит в множество . Если множество компактно, то существует множество , которое будет притягивающим множеством, т. е. для расстояние при .

Определение 2.16. Компактное инвариантное множество называется поглощающим множеством, если существует его окрестность такая, что все траектории, начинающиеся в , за конечное время входят в и остаются там навсегда.

Система, обладающая поглощающим множеством , имеет и аттрактор . В отличие от аттрактора и притягивающего множества, поглощающее множество неединственное. Можно построить семейство вложенных друг в друга поглощающих множеств. Более того, поглощающее множество можно построить наиболее удобным для доказательства его свойств методом. Чаще всего его строят как сферу или эллипсоид в фазовом пространстве и доказывают, что расстояние от точки траектории до центра сферы с течением времени уменьшаться.

Таким образом, доказательство существования аттрактора сводится к доказательству существования поглощающего множества.

Пример. Рассмотрим систему Лоренца

.

Представим как , а и заменим на и , тогда уравнения можно переписать в виде

.

Умножим первое уравнение на , второе – на , третье – на и сложим. В результате получим

.

Предполагая, что , представим . Первый член сохраним, а второй сложим с :

.

Здесь . Обозначим ,

, тогда

.

или

.

Интегрируя это неравенство от 0 до , получим

.

Если в качестве поглощающего множества выбрать шар радиуса , то траектория войдет в него за время, не превышающее

,

после чего . Следовательно, данный шар является поглощающим множеством для системы Лоренца, которая должна иметь внутри него притягивающее множество и аттрактор.