1.4. Уравнения в вариациях

Пусть  – дифференцируемое отображение области пространства в область пространства . Производной отображения в точке называется главная линейная часть отображения в точке , т.е. линейный оператор такой, что

.

В координатах и отображение записывается в виде векторной функции . Матрица линейного оператора в координатах  – это матрица Якоби векторной функции :

, , , , .

Теорема 1.1. Пусть семейство дифференциальных уравнений (1.3) задано векторными полями , непрерывными в некоторой области пространства вместе со своими производными и . Тогда решение семейства (1.3) с начальным условием непрерывно дифференцируемо по , . Если зависимость поля от параметров лишь непрерывна, то и зависимость решения от параметров непрерывна.

Уравнения для производных решения по начальным условиям и параметрам выписываются в явном виде. Обозначим через решение системы (1.2) с начальным условием . Фиксируем и положим

.

При каждом линейный оператор действует из в . Из уравнения (1.2) следует, что операторнозначная функция удовлетворяет следующему уравнению в вариациях:

, где .

Последнее уравнение является линейным однородным неавтономным дифференциальным уравнением, причем  – единичная матрица.

Найдем теперь уравнение в вариациях для производной решения семейства (1.3) по параметрам. Пусть  – решение семейства (1.3) с начальным условием . Фиксируем и положим

.

При каждом линейный оператор действует из в . Из уравнения (1.3) следует, что операторнозначная функция удовлетворяет уравнению в вариациях:

,

где

, .

Это линейное неоднородное неавтономное дифференциальное уравнение, причем .