2.1.3. Классификация особых точек нелинейных векторных полей

Двумерные динамические системы. Рассмотрим дифференциальные уравнения, которые описывают процессы в автономной нелинейной системе 2 ‑ го порядка ( ):

, (2.2а)

. (2.2б)

Особые точки динамической системы (2.2) определяются решениями двух алгебраических уравнений

, (2.3а)

. (2.3б)

Пусть – одно из решений системы (2.3). Пара чисел определяет координаты особой точки в фазовом пространстве. Чтобы определить тип этой точки, т. е. характер поведения траекторий в ее окрестности, рассмотрим уравнение (2.2), линеаризованное в окрестности этой точки:

, ,

, (2.4а)

, (2.4б)

где коэффициенты , , ,  – частные производные функций и по и , определенные в точке . Правые части уравнений (2.4) содержат первые три члена в соответствующих рядах Тейлора. Учитывая, что  – особая точка, удовлетворяющая алгебраическим уравнениям (2.3) и пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, получим линейные уравнения

, (2.5а)

. (2.5б)

Предположив, что , , из (2.5) получим однородную систему

, (2.6а)

. (2.6б)

Чтобы система (2.6) имела невырожденное решение, величина должна удовлетворять характеристическому (вековому) уравнению

или

. (2.7а)

После очевидных преобразований получаем

, (2.7б)

где  – след матрицы ,

 – определитель матрицы ,

 – матрица линеаризованной системы.

Решения характеристического уравнения (2.7) имеют вид

. (2.8)

Тип особой точки определяется корнями (2.8) уравнения (2.7). Разным типам особых точек соответствуют различные типы движений в окрестности равновесия, которые часто называются режимами. Классификация особых точек нелинейного двумерного потока представлена на рис. 2.2.

1. и  – отрицательные действительные числа; особая точка – устойчивый узел. Точка , определяющая состояние системы на фазовой плоскости, апериодически приближается к состоянию равновесия.

2. и  – положительные действительные числа; особая точка – неустойчивый узел. Точка , определяющая состояние системы на фазовой плоскости, апериодически удаляется от состояния равновесия.

3. и  – комплексные числа с отрицательной действительной частью; особая точка – устойчивый фокус. Точка , определяющая состояние системы на фазовой плоскости, совершает затухающие колебания и асимптотически приближается к состоянию равновесия.

4. и  – комплексные числа с положительной действительной частью; особая точка – неустойчивый фокус. Точка , определяющая состояние системы на фазовой плоскости, совершает колебания с растущей амплитудой и удаляется от состояния равновесия.

5. и  – действительные числа, имеющие разные знаки; особая точка – седло; неустойчивый режим. При малом случайном отклонении от состояния равновесия точка , определяющая состояние системы на фазовой плоскости, начинает удаляться от него.

6. и  – чисто мнимые числа; особая точка – центр; положение равновесия устойчиво, но не асимптотически устойчиво. При малом случайном отклонении от состояния равновесия точка , определяющая состояние системы на фазовой плоскости, начинает описывать эллипс вокруг точки .

Характер особых точек линеаризованной системы (2.5) и исходной нелинейной системы совпадает, кроме следующих случаев:

‑ если особая точка линеаризованной системы – центр, то особая точка исходной нелинейной системы либо центр, либо фокус;

‑ если хотя бы один из корней линеаризованной системы равен нулю, то для анализа особой точки нелинейной системы требуется дополнительное исследование.

Рис. 2.2. Классификация особых точек

нелинейного двумерного потока

Трехмерные динамические системы. Исследование устойчивости в малом систем 3-го порядка ( ) приводит к кубическому характеристическому уравнению линеаризованной системы:

.

Как и в случае двумерной системы, тип особой точки определяется положением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. В трехмерном вещественном пространстве существуют более сложные гиперболические особые точки, являющиеся комбинациями седла с узлом или фокусом и называемые соответственно, седло‑узлом (рис. 2.3) и седло‑фокусом (рис. 2.4).

Седло‑узел и седло‑фокус всегда неустойчивы. Они имеют одномерное устойчивое и двумерное неустойчивое многообразия (или наоборот). В окрестностях таких особых точек возможно существование сложной нерегулярной динамики (см. раздел 3). Эти точки могут играть важную роль в образовании хаотических аттракторов нелинейных динамических систем.

Рис. 2.3. Особая точка типа седло-узел

Рис. 2.4. Особая точка типа седло‑фокус

 ‑ мерные динамические системы. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1). Особые точки должны быть решениями системы алгебраических уравнений . Стандартным подходом к определению типа особых точек является линеаризация системы (1.1) в окрестности этой точки. Возьмем , где мало и . Подставив в уравнение (1.1), получим

,

где  – матрица Якоби. Таким образом, линеаризованная система имеет вид

. (2.9)

Связь решений линеаризованной системы (2.9) и исходной системы (1.1) устанавливается теоремой Гробмана–Хартмана (теорема 2.1). Если у матрицы нет собственных значений с нулевой действительной частью, то существует гомеоморфизм (взаимно однозначное, непрерывное, но, возможно, не дифференцируемое отображение) , определенный в некоторой окрестности точки , который локально отображает траектории нелинейной системы в траектории линеаризованной системы. Отображение сохраняет тип траекторий.

Особые точки, в которых у матрицы нет собственных значений с нулевой действительной частью, являются гиперболическими. Таким образом, линеаризованная система дает исчерпывающую информацию относительно устойчивости гиперболической неподвижной точки, причем не только по отношению к бесконечно малым, но и к конечным возмущениям. Поведение линеаризованной и исходной системы в негиперболических особых точках может быть принципиально различным.