2.1.2. Классификация особых точек линейных

векторных полей

Система линейных дифференциальных уравнений, определяемая линейной частью векторного поля, имеет в окрестности особой точки вид (2.1). Тип особой точки и характер поведения решений системы (2.1) в окрестности особой точки определяются собственными значениями линейного оператора .

В случае двумерного фазового пространства невырожденная особая точка может быть одного из следующих четырех типов: седло, узел, фокус, центр. Собственные значения и линейного оператора определяются формулой

,

где  – след матрицы ,  – определитель матрицы . Области, занимаемые различными типами особых точек уравнения (2.1) в плоскости , представлены на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Классификация особых точек

линейных двумерных систем

В случае докритический узел соответствует скалярной матрице , где  – единичная матрица, а вырожденный узел – матрице, подобной двумерной жордановой клетке.

Условие определяет линию вырожденных особых точек, среди которых можно выделить вырожденный плоский седло‑узел, имеющий, как правило, один узловой и два седловых сектора. Невырожденное седло, узел и фокус являются гиперболическими особыми точками. Поэтому, как следует из теоремы 2.1., все изображенные на рис. 2.1. особые точки, кроме центра, сохраняют свой тип при малых возмущениях линейной системы (2.1). Cедло всегда устойчиво, а узел и фокус могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми в зависимости от знака вещественных частей собственных значений матрицы .