Введение

Учебное пособие разработано в рамках создания учебно-методического комплекса дисциплины «Хаос и нелинейная динамика», для подготовки магистров по направлению «Системный анализ и управление» в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом.

Учебное пособие направлено на достижение следующих целей, стоящих перед данной дисциплиной: освоение основных методов нелинейной динамики; развитие способностей к анализу и синтезу нелинейных систем с регулярной и нерегулярной динамикой; приобретение навыков использования основных свойств систем с хаотической динамикой для обработки информации в управлении, сжатии цифровых сигналов и криптографии.

Изучение материала учебного пособия ставит перед собой следующие задачи:

– освоение основных принципов моделирования нелинейных систем с регулярной и хаотичной динамикой;

– изучение конструктивных методов анализа устойчивости особых точек, циклов и аттракторов нелинейных систем;

– ознакомление с адекватными критериями возникновения хаотических движений в нелинейных системах;

– освоение методов синтеза регуляторов для решения задач управления нелинейными системами с нерегулярной динамикой;

– приобретение знаний по методам сжатия и кодирования информации с использованием нелинейных хаотических отображений.

Учебное пособие по дисциплине «Хаос и нелинейная динамика» решает воспитательные, развивающие и мировоззренческие задачи. В процессе изучения дисциплины формируются общекультурные компетенции:

– способность к самостоятельному обучению новым методам исследования, к изменению научного и научно-производственного профиля своей профессиональной деятельности;

– способность применять в практической деятельности новые знания и умения, в том числе в новых областях знаний, непосредственно не связанных со сферой деятельности;

– способность понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны,

а также профессиональные компетенции:

– способность вскрыть математическую, естественнонаучную и техническую сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, провести их качественно-количественный анализ;

– способность анализировать, синтезировать и критически резюмировать информацию;

– способность оформить, представить и доложить результаты выполненной работы;

– способность разрабатывать практические рекомендации по использованию результатов научных исследований;

– способность применять перспективные методы системного анализа и принимать решения для исследования функциональных задач на основе мировых тенденций развития системного анализа, управления и информационных технологий;

– способность выбирать методы и разрабатывать алгоритмы решения задач управления сложными многомерными объектами управления.

Учебное пособие предназначено для реализации рабочей программы учебной дисциплины «Хаос и нелинейная динамика», разработанной в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению «Системный анализ и управление» (магистры, профессиональный цикл, вариативная часть). Разделы учебного пособия соответствуют дидактическим единицам учебной программы.

Учебная дисциплина «Хаос и нелинейная динамика» изучается в 9 и 10 семестрах и относится к вариативной части профессионального цикла. Для освоения данной учебной дисциплины требуется изучение дисциплин: «Математика», «Вычислительная математика», «Теория управления», «Функциональный анализ». Данная учебная дисциплина завершает подготовку в магистратуре и необходима для адаптации в первичной должности и дальнейшего карьерного роста специалистов.

В последние годы нелинейная динамика вызывает большой интерес у широкого круга специалистов, работающих в самых разнообразных областях информационных технологий. Модели нелинейной динамики, в первую очередь, привлекают внимание разработчиков систем сжатия цифровых изображений и криптосистем на основе блочных шифров. Однако в учебной литературе эти сведения либо кратко упоминаются, либо отсутствуют вообще.

В учебном пособии рассматриваются методы исследования регулярных и хаотичных режимов нелинейных динамических систем и их взаимосвязь с фрактальными методами сжатия цифровой информации и шифрованием сообщений на основе хаотичных отображений с перемешивающими и рассеивающими свойствами.

Основное содержание первых четырех разделов направлено на знакомство студента с моделями и методами нелинейной динамики. Представлены модели непрерывных и дискретных динамических систем в виде тройки, состоящей из расширенного фазового пространства и однопараметрической группы (полугруппы) его преобразований. Приводятся методы исследования регулярных движений (особых точек, циклов, траекторий со счетным числом точек) на основе теоремы Грофмана–Хатмана о топологической эквивалентности непрерывного дифференцируемого векторного поля с гиперболической особой точкой.

Далее рассматриваются методы исследования устойчивости по Ляпунову и Пуассону, структурной устойчивости. Проанализированы признаки и критерии возникновения режима детерминированного хаоса в нелинейных системах (характеристические показатели Ляпунова, энтропия, инвариантная мера и свойства эргодичности и перемешивания), которые используются в новых технологиях обработки информации. Приведены численные методы расчета указанных характеристик.