3.2.4. Свойства характеристических показателей Ляпунова

Перечислим основные свойства характеристических показателей для диссипативных и консервативных систем.

1. Число характеристических показателей равно размерности фазового пространства исходной динамической системы и их можно упорядочить по убыванию: .

2. Для аттракторов, отличных от неподвижных точек, должен быть, по крайней мере, один нулевой характеристический показатель, отвечающий смещению вдоль траектории. Если уравнения движения динамической системы инвариантны относительно некоторого преобразования, то, как правило, они имеют нулевой характеристический показатель, связанный с этим преобразованием. Действительно, пусть – однопараметрическое семейство траекторий, причем явно от не зависит. Тогда , а

=

,

т. е.  – решение линеаризованной системы (3.3) для начальных данных . Если справедливо соотношение

, (3.15)

где и не зависят от времени, то характеристический показатель для этого решения будет равен нулю. Следовательно, в ляпуновском спектре динамической системы должен быть нулевой показатель.

Частным случаем этой ситуации является сдвиг по времени для автономных систем. Если решение, то – тоже решение. Так как , то условие (3.15) сводится к требованию отсутствия на траектории неподвижных точек.

Таким образом, для аттракторов, отличных от неподвижных точек, должен быть, по крайней мере, один нулевой характеристический показатель.

3. Динамическую систему называют гиперболической, если она имеет как положительные, так и отрицательные характеристические показатели Ляпунова и не имеет характеристических показателей на мнимой оси.

4. Показатели Ляпунова характеризуют скорость разбегания бесконечно близких траекторий, а показатели высших порядков – скорость изменения бесконечно малых фазовых объемов. У консервативных систем, сохраняющих фазовый объем, всегда существует хотя бы один закон сохранения, что влечет существование соответствующего ему нулевого показателя. Для диссипативных систем сумма показателей Ляпунова, равная среднему вдоль траектории значению дивергенции, всегда отрицательна.

5. Если от системы дифференциальных уравнений (3.1) с набором показателей Ляпунова перейти к каскаду , используя правило: , , то показателями Ляпунова для этого каскада будут .

6. Если от каскада перейти к некоторой его степени

,

то для нового отображения показатели будут в раз больше .

7. При обращении времени “типичными” показателями Ляпунова будут . При этом вместо аттрактора, к которому притягиваются траектории при , нужно рассматривать неустойчивое множество, к которому притягиваются траектории при .

8. Характеристический показатель не зависит от обратимой замены переменных. Действительно, пусть

, (3.16)

где . Тогда исходное отображение перейдет в отображение с характеристическим показателем

.

Согласно соотношению (3.16) имеем

,

откуда .

Положительность величины характеристического показателя Ляпунова говорит не только об экспоненциальной неустойчивости движения, но и свидетельствует о наличии перемешивания. Следствием положительности показателя Ляпунова будут также сплошной спектр мощности и спадающая во времени автокорреляционная функция, что будет более подробно раскрыто в последующих разделах.