2.2.1. Переход к системе с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную неавтономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(2.10)

с ‑периодической матрицей и  –   ‑мерным вектором состояния.

Существует замена переменных, превращающая систему с периодическими коэффициентами в систему с постоянными коэффициентами. Такая замена переменных основана на понятии фундаментальной матрицы системы (2.10). Если матрица невырождена, то среди всевозможных решений, отвечающих различным начальным условиям , можно выделить ровно линейно независимых решений . Формируя из них столбцы некоторой матрицы , получим, что:

‑ матрица удовлетворяет уравнению ;

‑ любые линейно независимых решений образуют базис, поэтому любое решение можно представить в виде комбинации базисных решений

. (2.11)

Вектор можно найти из начальных условий

.

Фундаментальная матрица позволяет выразить решение через начальные данные . Решение системы (2.10) с учетом (2.11) представимо в виде

.

Матрица  – также фундаментальная матрица. Она отвечает начальным данным (  – единичная матрица) и носит название нормированной фундаментальной матрицы. Фундаментальных матриц много, нормированная фундаментальная матрица одна. Очевидно, что , поэтому для рассматриваемой линейной системы матрица задает отображение . Для систем с постоянной матрицей имеем . Определитель фундаментальной матрицы называется определителем Вронского. Поскольку фундаментальная матрица невырождена ( ), то для определителя Вронского справедливо уравнение , где  – след матрицы .

Вернемся к системам с периодическими коэффициентами. Поскольку фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению , то

,

т. е. будет другой фундаментальной матрицей. Любое решение можно выразить как комбинацию фундаментальных решений

,

где  – постоянная матрица с собственными значениями . Преобразованием подобия можно привести матрицу к диагональному виду . Представим = , откуда следует . С помощью величин , называемых характеристическими показателями, можно «прологарифмировать» матрицу (жорданову форму матрицы ). Здесь . Используя обратное преобразование, получим . Характеристические показатели являются собственными значениями матрицы ( ). Обозначим . Тогда

.

Из последнего равенства имеем

. (2.12)

Таким образом, фундаментальную матрицу можно выразить как произведение периодической матрицы на экспоненту постоянной матрицы.

При замене переменных

или (2.13)

система с периодическими коэффициентами превратится в систему с постоянными коэффициентами

. (2.14)

Теорема 2.2. (теорема Флоке). Каждое фундаментальное решение линейной системы (2.10) с периодическими вещественными коэффициентами представимо в виде (2.12), где – некоторая ‑периодическая комплексная матрица, а – некоторая постоянная комплексная матрица, причем существует невырожденная действительная матрица такая, что .

Матрица , называемая матрицей монодромии, единственным образом определяется периодической матрицей .  – собственные значения матрицы , которые называются мультипликаторами линейной системы (2.10) или мультипликаторами цикла.

Собственные значения матрицы называются характеристическим показателями или показателями Флоке. Их вещественные части также определяются однозначно. Очевидно, что , а , если  – единичная матрица. Неособая матрица не обязана иметь действительный логарифм, т.е. не всегда существует действительная матрица такая, что . Примером является матрица , имеющая простой отрицательный мультипликатор. Однако матрица уже всегда имеет действительный логарифм. Поэтому каждое действительное фундаментальное решение линейной системы (2.10) с ‑периодическими коэффициентами представимо в виде , где  – некоторая ‑периодическая матрица, а  – некоторая действительная матрица такая, что .

На практике найти замену вида (2.13), преобразующую систему (2.10) с периодическими коэффициентами к системе (2.14) с постоянными коэффициентами, удается очень редко, и анализ (например, нахождение показателей Флоке или характеристических показателей) проводится численно.