2.1.4. Особые точки каскада

Для каскада (отображения) неподвижная точка должна удовлетворять соотношению . Её устойчивость исследуется аналогично случаю обыкновенных дифференциальных уравнений. Возьмем , тогда

,

и задача сводится к исследованию линейного отображения с постоянной матрицей

.

Определение 2.5. Особая точка отображения называется гиперболической, если у матрицы нет собственных значений таких, что .

Для гиперболических точек отображения также существует теорема Гробмана–Хартмана.

Теорема Гробмана–Хартмана. Пусть отображение имеет непрерывную первую производную. Тогда в некоторой окрестности гиперболической точки существует гомеоморфизм , взаимно однозначно отображающий траектории исходной системы на траектории линеаризованной системы, т. е. такой, что для любого .

Таким образом, и для гиперболических точек каскада (отображения) устойчивость по отношению к бесконечно малым и малым конечным возмущениям определяется свойствами собственных значений матрицы .

Пример. Рассмотрим двумерное дискретное отображение (кошка Арнольда), заданное системой двух разностных уравнений:

.

Собственные значения отображения , удовлетворяющие характеристическому уравнению

,

равны: , .

Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, их произведение равно единице. Они (корни) не лежат на мнимой оси, поэтому неподвижная точка является гиперболической. В окрестности неподвижной точки , которая является решением нелинейного уравнения , «кошка Арнольда» ведет себя как растяжение с коэффициентом вдоль собственного вектора и сжатие с коэффициентом вдоль собственного вектора .

Отображение «кошка Арнольда» представляет собой суперпозицию двух операций: растяжения и перекладывания фрагментов. Растяжение под действием матрицы  – линейное преобразование, которое переводит прямые в прямые. Вторая часть преобразования (  – взятие дробной части) соответствует разрезанию параллелограмма, полученного при сжатии – растяжении исходного единичного квадрата на треугольники с последующим перекладыванием их в исходный единичный квадрат.

Итерации отображения «кошки Арнольда», определяемые матрицей , равны

,

где  ‑ матрица преобразования к диагональному виду.