3.1.3. Эргодичность и перемешивание

Движение системы называется эргодическим, а сама система – эргодической, если для любой интегрируемой функции и для любых начальных условий выполнено равенство

,

т. е. среднее значение функции по времени равно фазовому среднему. Для эргодической системы относительное время, проводимое системой в подобласти области , пропорционально относительному объему и не зависит от начального состояния. Иными словами, фазовая кривая эргодической системы равномерно и плотно заполняет весь объем области .

Эргодичность – необходимое, но не достаточное условие хаотичности движения динамической системы. Для автономной гамильтоновой системы движение происходит по фазовому многообразию, размерность которого меньше чем размерность всего фазового пространства, так как в таких системах есть первый интеграл – энергия. Движение трехмерной гамильтоновой системы с одним первым интегралом будет происходить на двумерном торе. Выделенная начальная область под действием фазового потока перемещается по тору без изменения ее формы.

Существуют системы с более сложными режимами движения, для которых начальный объем, перемещаясь по доступной части фазового пространства, сильно деформируется. С течением времени разные части исходной области можно обнаружить в разных частях объема области вне зависимости от формы и расположения . Это свойство, называемое перемешиванием, может служить критерием хаотичности.

Перемешивание связано со сходимостью мер. Если преобразование плотности вероятности под действием оператора Перрона–Фробениуса независимо от начального распределения стремится к инвариантной мере, то говорят, что динамическая система обладает свойством перемешивания. Начальное распределение «перемешивается» и «растекается» по всему аттрактору, подобно тому, как капля чернил в стакане воды при перемешивании распространяется по всему стакану.

Если в начальный момент на множестве , принадлежащем аттрактору , задано некоторое распределение вероятностей, то с течением времени, благодаря неустойчивости траекторий, это распределение «расплывается» по всему аттрактору и стремится с точностью до множителя к распределению, соответствующему инвариантной мере.

Перемешивание – более сильное свойство, чем эргодичность. Из него сразу вытекает, что автокорреляционная функция динамической системы должна экспоненциально убывать, а скорость убывания связана со скоростью сходимости меры к инвариантной мере. Однако если для эргодичности существуют теоремы, доказывающие, что этим свойством обладает большинство реальных систем, то перемешивание требует доказательства в каждом отдельном случае.

Полагают, что наличие положительного характеристического показателя Ляпунова (т. е. экспоненциальное разбегание близких траекторий) свидетельствует о перемешивании. Это утверждение в настоящий момент не доказано, хотя и не опровергнуто.

С течением времени малый объем фазового пространства размазывается по всему аттрактору, и возникает эффект перемешивания. Если в начальный момент времени состояние системы было известно достаточно точно, то со временем, зависящим от скорости перемешивания, о состоянии системы можно говорить, что оно «где ‑ то на аттракторе». На больших временах характеризовать систему можно, только указав вероятность появления траектории в окрестности некоторой точки, т. е. мы приходим к вероятностному описанию динамического хаоса с использованием инвариантной меры и энтропии – степени хаотичности системы.