3.1.1. Существенная зависимость от начальных данных

Одним из ключевых признаков динамического хаоса является высокая чувствительность к начальным данным, которая подразумевает экспоненциальное удаление бесконечно близких траекторий. Траектории притягиваются к множеству, обладающему фрактальной структурой, – странному аттрактору. Движение на аттракторе непредсказуемо и хаотично.

Возьмем две первоначально близкие точки и , лежащие на аттракторе, и определим расстояние между ними . Здесь и  – решения исследуемой нелинейной системы с начальными данными и . Геометрически соответствует длине отрезка с концами в точках и . В момент времени расстояние можно оценить через вектор , характеризующий погрешность задания начальной точки и некоторый коэффициент :

.

Показатель , определяющий скорость экспоненциального удаления траекторий, называется характеристическим показателем Ляпунова. Показатель Ляпунова характеризует аттрактор, а не отдельно взятую траекторию, если рассматривать множество бесконечно близких траекторий и среднюю скорость их удаления на большом интервале времени. Формально, характеристический показатель Ляпунова вводится следующим образом:

.

Движение на аттракторе оказывается неустойчивым по Ляпунову (локально неустойчивым). Чем больше величина характеристического показателя Ляпунова, тем более хаотичным выглядит движение.