3.2.3. Характеристические показатели и изменение фазового объема

Характерной особенностью гамильтоновых систем является сохранение их фазового объема. В диссипативных системах фазовый объем в среднем сжимается. Вычислим изменение малого элемента объема в точке

,

где

. (3.12)

Скорость изменения фазового объема равна

. (3.13)

Из соотношения (3.12) имеем

.

Используя уравнение (3.1), для нормированного изменения фазового объема из (3.13) при получаем

.

Относительное изменение фазового объема определяется знаком дивергенции вектора . Величина зависит от траектории и может быть как положительной (растяжение), так и отрицательной (сжатие). При движении гамильтоновой системы, как отмечалось выше, ее фазовый объем сохраняется. В диссипативных системах фазовый объем в среднем сжимается.

Среднюю скорость изменения фазового объема можно записать в виде

,

где ,  – фазовые объемы в момент времени и (текущее время).

Для каскада фазовый объем сжимается за одну итерацию в раз, и скорость сжатия равна

.

Усредняя эту величину вдоль траектории, получим

.

Среднюю скорость сжатия фазового объема можно выразить и через характеристические показатели Ляпунова

. (3.14)

Хаотическое движение связано с экспоненциальным увеличением расстояния между первоначально близкими траекториями, т. е. для хаотического движения . С другой стороны, фазовый объем диссипативных систем должен сжиматься. Из этих двух фактов следует, что хаотическое движение для одномерных и двумерных потоков невозможно. Для двумерного случая ( ) отображение Пуанкаре одномерное и обратимое, поэтому из соотношения (3.14) следует, что . Такое отображение не может быть одновременно и диссипативным ( ) и хаотическим ( ). Наиболее простыми системами с хаотическим поведением являются трехмерные потоки или двумерные каскады. В последнем случае для хаотического движения должно быть и .

Критерии, позволяющие по знакам характеристических показателей Ляпунова определить типы аттракторов динамических систем, имеют следующий вид.

Для одномерной системы, в которой аттракторами могут быть только устойчивые особые точки, существует один показатель Ляпунова, который отрицателен, .

В двумерных системах аттракторы встречаются только двух типов: устойчивые стационарные точки и предельные циклы. Если оба показателя отрицательны, , то аттрактором является устойчивая стационарная точка. Если , то аттрактор – предельный цикл (один из показателей, соответствующий направлению движения вдоль цикла, равен нулю).

В трехмерных системах, помимо устойчивых особых точек и предельных циклов, аттракторами могут быть инвариантные торы и странные аттракторы:

 – устойчивый фокус или узел;

 –  устойчивый предельный цикл;

 – устойчивый тор;

 – странный аттрактор.

В ‑мерных системах сигнатура спектра характеристических показателей фазовой траектории может принимать следующий вид:

 – состояние равновесия;

 – предельный цикл;

 –  ‑мерный тор, ;

 – странный аттрактор, .

Пример. Для системы Лоренца (см. пример к пункту 2.3.5) при , , характеристические показатели Ляпунова равны , , . Характеристический показатель третьего порядка равен . Фазовый объем сжимается, и имеет место локальная неустойчивость на аттракторе ( ). Следовательно, при заданных параметрах в фазовом пространстве имеется странный аттрактор, и движение будет хаотическим.