2.2.3. Построение сечения Пуанкаре

Сечение Пуанкаре позволяет избавиться от нулевого характеристического показателя, связанного с движением вдоль цикла. Каждая динамическая система с непрерывным временем порождает отображение вида

.

Однако это отображение не избавляет от нулевого характеристического показателя, поскольку инвариантность относительно сдвига вдоль цикла остается. Избавиться от инвариантности можно, избавившись от самого движения по циклу. Для этого в ‑мерном пространстве выбирается некоторая гладкая ‑мерная гиперповерхность , к которой предъявляются два требования. Циклическая траектория не должна касаться гиперповерхности. По возможности гиперповерхность выбирается так, чтобы траектории пересекали ее почти перпендикулярно. Точка замкнутой траектории должна пересекать гиперповерхность только один раз в некоторой точке , двигаясь с одной стороны гиперповерхности на другую. Точки, принадлежащие поверхности , будем обозначать не , а . Возможно еще одно пересечение при движении в обратном направлении. Обычно гиперповерхность определена глобально, но иногда определяют только в окрестности , и тогда цикл пересекает один раз. Благодаря непрерывности отображения близкие к циклу траектории также не будут касаться , и в окрестности цикла можно построить так называемое отображение первого возвращения, или отображение Пуанкаре (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Отображение Пуанкаре

Очевидно, что . Возьмем некоторую точку при и рассмотрим траекторию . Обозначим через момент времени, когда траектория снова пересечет гиперповерхность в точке . При либо , либо , но и  – векторы, определяющие направление движения, лежат по разные стороны от . Точка существует, если она лежит достаточно близко к циклу.

Определим новую динамическую систему с дискретным временем . Ее фазовым пространством будет поверхность , а сама система будет порождаться отображением

.

Целые числа нумеруют моменты пересечения траекториями поверхности Пуанкаре, а цикл превращается в неподвижную точку . Размерность нового фазового пространства будет на единицу меньше. Обозначим через матрицу производных . Существует теорема, которая утверждает, что собственные значения матрицы , , совпадают с собственными значениями матрицы монодромии, за исключением значения , отвечающего движению вдоль цикла.

Сечение Пуанкаре позволяет свести задачу об устойчивости периодического решения к задаче об устойчивости неподвижной точки отображения . Сечение Пуанкаре используется при исследовании сложных временных режимов, с целью упростить наблюдаемую картину и перейти от потока к каскаду меньшей размерности.