1.2. Каскады

В некоторых ситуациях для моделирования системы достаточно указать ее состояние в заданные дискретные моменты времени. В этом случае в качестве эволюционного оператора можно использовать функцию, определяющую состояние системы в некоторый момент времени через ее состояние в предыдущий момент. Математической моделью динамической системы в этом случае служит разностное уравнение с заданным начальным условием

. (1.9)

Рассмотрим диффеоморфизм класса , , т. е. гомеоморфизм на такой, что и  – отображения класса . Свяжем с диффеоморфизмом отображение : , определенное следующим образом:

для ;

для .

Отображение обладает следующими свойствами:

‑  ; (1.10)

‑ для любых

; (1.11)

‑ при любом фиксированном отображение

класса . (1.12)

Определение 1.6. Отображение со свойствами (1.10) ‑ (1.12) называется гладким каскадом, или гладкой динамической системой с дискретным временем на .

Определение 1.7. Множество

называется орбитой или траекторией точки под действием каскада .

Для траектории динамической системы (1.9) может выполняться одна из двух возможностей:

‑ либо при некотором , в этом случае существует наименьшее натуральное такое, что для всех , сама точка называется периодической точкой периода , а ее траектория состоит из различных точек (при точка называется неподвижной);

‑ либо для всех , в этом случае траектория состоит из счетного множества различных точек.