2.4.4. Структурная устойчивость

Перечисленные выше типы устойчивости связаны с поведением траекторий в фазовом пространстве. Векторное поле и соответствующее ему отображение были фиксированными. Изучались свойства задаваемой ими системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим свойства семейства дифференциальных уравнений, например, вида (1.3), по отношению к возмущениям векторного поля. Определим устойчивость по отношению к возмущениям самого отображения , которую будем называть ‑устойчивостью.

Для исследования ‑устойчивости необходимо рассматривать не фазовое пространство , а пространство динамических систем, определенных на . Будем обозначать это пространство . Например, это может быть подмножество пространства всех непрерывно дифференцируемых функций на . Важно, чтобы в этом пространстве были определены понятия расстояния между динамическими системами и малой окрестности. Временной эволюции в пространстве нет, а действие возмущения отображения сводится к сдвигу точки, отвечающей динамической системе , на небольшое расстояние .

Как определяется устойчивость в этом случае? Необходимо, чтобы все достаточно близкие динамические системы были в некотором смысле эквивалентны данной, т. е. все системы должны быть разделены на классы эквивалентности, и устойчивость будет иметь место, если такому классу будет соответствовать множества с ненулевой мерой (например, шар, куб). Проблема ‑устойчивости требует построения классификации динамических систем, когда классифицирующий признак меняется дискретно. Пространство динамических систем разбивается на множества – классы с ненулевой мерой, а границами их раздела должны быть множества нулевой меры (точка, отрезок, плоская фигура). При удачной классификации должна существовать возможность «подойти» к любой динамической системе сколь угодно близко по цепочке ‑устойчивых систем. Иными словами, ‑устойчивые динамические системы должны быть плотны в пространстве .

Понятие структурной устойчивости (грубости) векторного поля или задаваемой им системы было предложено А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным. Оно требует определений возмущения векторного поля и топологической эквивалентности векторных полей.

Определение 2.28. Возмущением векторного поля амплитудой будем называть любое векторное поле , для которого существует компактное множество , вне которого , а на множестве выполняется:

и .

Определение 2.29. Две системы дифференциальных уравнений (или два векторных поля) топологически эквивалентны, если существует гомеоморфизм фазового пространства одной системы на фазовое пространство второй системы, переводящий ориентированные траектории первой системы в ориентированные траектории второй системы.

Данное определение является определением глобальной топологической эквивалентности, справедливой во всем фазовом пространстве. В случае топологической эквивалентности векторных полей направление времени вдоль эквивалентных траекторий должно сохраняться, но масштаб времени может изменяться.

Определение 2.30. Гладкое векторное поле (или дифференциальное уравнение (1.1)), заданное на гладком компактном многообразии , называется структурно устойчивым, если существует такое, что все возмущения амплитудой меньшей, чем , топологически эквивалентны .

Теорема 2. 10. Структурно устойчивые векторные поля образуют всюду плотное множество в пространстве всех непрерывно дифференцируемых полей на двумерном компактном многообразии.

Следовательно, структурно устойчивые векторные поля заполняют целые области в пространстве всех полей, и в любой окрестности любого структурно неустойчивого поля можно указать поле, являющееся структурно устойчивым. Таким образом, структурная устойчивость является типичным свойством для двумерных векторных полей.

Необходимые и достаточные условия структурной устойчивости двумерных автономных систем дифференциальных уравнений дает следующая теорема.

Теорема 2.11. Система дифференциальных уравнений (1.1) структурно устойчива (глобально структурно устойчива) на двумерном компактном многообразии тогда и только тогда, когда:

‑ число особых точек конечно, и все они являются гиперболическими;

‑ число предельных циклов конечно, и все они невырождены;

‑ в многообразии нет седловых связок, т. е. сепаратрис, идущих из седла в седло.

Выполнение первых двух условий теоремы обеспечивает в силу теоремы Гробмана–Хартмана локальную структурную устойчивость системы в окрестностях гиперболических особых точек и невырожденных предельных циклов, а дополнительное условие – отсутствие седловых гомоклиничиских и гетероклинических траекторий – является уже достаточным в двумерном случае условием для обеспечения глобальной структурной устойчивости системы в целом.

Для систем более высокой, чем два, размерности, перечисленные в теореме условия с заменой невырожденных циклов на гиперболические, являются необходимыми условиями глобальной структурной устойчивости. При невыполнении первых двух условий система не будет не только глобально, но даже и локально структурно устойчивой, а любая седловая связка разрушается малыми возмущениями векторного поля. Эти условия не являются достаточными для глобальной структурной устойчивости систем размерности выше двух. Более того, для таких систем множество структурно устойчивых векторных полей не является всюду плотным в пространстве всех непрерывно дифференцируемых векторных полей, т. е. существуют области, свободные от структурно устойчивых векторных полей, и, следовательно, типичным свойством является структурная неустойчивость.