2.3.2. Предельные множества

Пусть – решение системы (1.1), начинающееся в точке , и ему соответствует некоторая траектория в фазовом пространстве.

Определение 2.11. Точка называется ‑предельной точкой для , если существует последовательность моментов времени такая, что .

Определение 2.12. Множество всех ‑предельных точек для траектории, начинающейся в точке , называется ‑предельным множеством для и обозначается .

Объединение всех множеств для всех обозначается . Аналогично для отрицательных моментов времени можно определить  предельные точки множества, , для которых .

Множество состоит из полных траекторий, т. е. если , то . Следовательно, множество является инвариантным множеством.

Приведем некоторые свойства предельных множеств.

1. Предельное множество замкнуто.

2. Предельное множество состоит из целых траекторий. Это свойство формулируется следующим образом: предельное множество является инвариантным множеством по отношению к потоку, определенному системой (1.1).

3. Для того, чтобы предельное множество было пустым, необходимо и достаточно, чтобы траектория при уходила в бесконечность.

4. Для того, чтобы предельное множество состояло из единственной точки, необходимо и достаточно, чтобы траектория входила в эту точку при .

Точка покоя является своей единственной предельной точкой; замкнутая траектория также является своим собственным предельным множеством. Предельные точки незамкнутых траекторий более интересны, так как позволяют определить характер поведения траекторий при больших моментах времени.