3.1.4. Энтропия
В теории информации энтропия вводится для систем, которые могут находиться в различных состояниях с различной вероятностью .
Шенноном было показано, что состояние неопределенности характеризуется энтропией, которая вводится как
.
Мерой информации, содержащейся в сообщении, является изменение энтропии. Если сообщение полностью определяет текущее состояние системы, то после его получения . Тогда информация, содержащаяся в сообщении, .
Разобьем фазовое пространство динамической системы на непересекающиеся множества . Пусть каждое множество имеет диаметр не более , а его мера равна . Можно определить количество информации, которое дает знание текущего состояния системы с точностью . С течением времени, если система хаотическая (перемешивающая), образы почти всех множеств будут иметь непустое пересечение со всеми остальными множествами . Перемешивающая система с течением времени увеличивает неопределенность своего состояния. В таком случае говорят, что система производит информацию. Скорость производства информации или неопределенности называют метрической энтропией динамической системы.
Энтропия динамической системы позволяет определить время предсказуемости ее поведения
.
Различают объемную и линейную предсказуемость. Объемная предсказуемость зависит от нарастания количества фазовых объемов , по которым расползается пятно первоначальной погрешности. Линейная предсказуемость определяется разницей между истинной и возмущенной траекториями . Энтропия связана с объемной трактовкой предсказуемости. Линейная трактовка связана с характеристическими показателями Ляпунова.
- Оглавление
- 3.6. Автокорреляционная функция и спектральная плотность ..118
- 3.7. Фрактальные структуры и размерность аттрактора ………123
- Введение
- 1. Модели нелинейных динамических систем
- 1.1. Потоки
- 1.2. Каскады
- 1.3. Связь уравнения движения и отображения
- 1.3.1. Непрерывное время
- 1.3.2. Дискретное время
- 1.4. Уравнения в вариациях
- 1.5. Диссипативные и консервативные системы
- 2. Регулярная динамика
- 2.1. Особые точки
- 2.1.1. Основные определения
- 2.1.2. Классификация особых точек линейных
- 2.1.3. Классификация особых точек нелинейных векторных полей
- 2.1.4. Особые точки каскада
- 2.2. Периодические решения
- 2.2.1. Переход к системе с постоянными коэффициентами
- 2.2.2. Линеаризация уравнений с периодическим решением
- 2.2.3. Построение сечения Пуанкаре
- 2.2.4. Периодические решения (циклы) каскадов
- 2.3. Инвариантные, предельные и притягивающие множества
- 2.3.1. Инвариантные множества (многообразия)
- 2.3.2. Предельные множества
- 2.3.3. Притягивающие множества
- 2.3.4. Аттрактор
- 2.3.5. Поглощающее множество
- 2.4. Устойчивость
- 2.4.1. Понятие устойчивости
- 2.4.2. Устойчивость по Ляпунову
- 2.4.3. Устойчивость по Пуассону
- 2.4.4. Структурная устойчивость
- 3. Хаотическая динамика
- 3.1. Признаки хаотического поведения
- 3.1.1. Существенная зависимость от начальных данных
- 3.1.2. Инвариантная мера
- 3.1.3. Эргодичность и перемешивание
- 3.1.4. Энтропия
- 3.1.5. Автокорреляционная функция
- 3.1.6. Фрактальная структура странных аттракторов
- 3.2. Характеристические показатели ляпунова
- 3.2.1. Непрерывные динамические системы
- 3.2.2. Дискретные динамические системы
- 3.2.3. Характеристические показатели и изменение фазового объема
- 3.2.4. Свойства характеристических показателей Ляпунова
- 3.3. Инвариантные меры динамических систем
- 3.3.1. Типы вероятностных мер
- 3.3.2. Инвариантная мера. Оператор Перрона‑Фробениуса
- 3.3.3. Эргодическая мера
- 3.3.4. Физическая мера
- 3.3.5. Устойчивость и сходимость мер
- 3.4. Эргодичность и перемешивание
- 3.4.1. Эргодичность
- 3.4.2. Перемешивание
- 3.4.3. Перекладывание