3.2.1. Непрерывные динамические системы

Пусть задана автономная динамическая система

, (3.1)

где  ‑ начальные данные. Определим изменение траектория при бесконечно малом приращении начальных данных , рассматривая бесконечно близкую траекторию . Решение системы (3.1) дифференцируемо по начальным данным для конечных значений времени , поэтому

,

где  – матрица производных от решения по начальным данным.

Для линейных систем матрица совпадает с нормированной фундаментальной матрицей. Для нелинейной системы по заданному начальному возмущению можно найти , решая соответствующую линейную систему

, (3.2)

где  – матрица Якоби.

В силу линейности уравнения (3.2) амплитуда решения несущественна. Важен «коэффициент приращения» решения за время , поэтому от бесконечно малых величин можно перейти к конечным значениям , считая . Бесконечно малая амплитуда , входящая, как в правую, так и левую части уравнений, сокращается. Тогда исследование устойчивости системы (3.1) сводится к исследованию устойчивости линейной системы вида

. (3.3)

Начальное возмущение определяет направление, в котором мы выбираем бесконечно близкую траекторию в точке . Векторы и принадлежат к разным пространствам: принадлежит фазовому пространству динамической системы, а  – касательному пространству в точке (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Касательное пространство в точке

Решение системы (3.3) удобно выразить через нормированную фундаментальную матрицу , которая удовлетворяет тем же самым дифференциальным уравнениям

.

Тогда решение системы (3.3) можно представить в виде . Для одних направлений вектора (выбранного вектора начальных условий) близкие траектории будут экспоненциально удаляться. Для других векторов траектории будут экспоненциально сближаться, для третьих – расстояние между траекториями остается постоянным или меняется медленнее, чем экспоненциально. Для неподвижной точки имеем , и эти случаи соответствуют собственным значениям с вещественными частями: . Здесь  – собственные значения матрицы .

А.М. Ляпунов для описания поведения решений динамической системы ввел характеристический показатель функции .

Определение 3.1. Характеристическим показателем функции называется число (или символ ), определенное как

. (3.4)

Характеристический показатель определяет изменение модуля функции по шкале показательных функций . Для этих функций характеристический показатель равен . Для произвольных функций справедливо тождество

,

которое и поясняет определение 3.1.

Определим значения характеристического показателя в случае неподвижной точки системы (3.1) . Пусть все собственные значения матрицы линеаризованной системы (3.3) вещественны, различны и пронумерованы в порядке убывания: . Обозначим соответствующие им собственные векторы , , . Собственные векторы образуют базис в касательном пространстве в точке . Любое решение системы (3.3) можно представить как линейную комбинацию базисных решений , отвечающих начальным данным . Если , то общее решение уравнения (3.3) имеет вид

. (3.5)

Пусть  – номер, при котором , . Тогда решение системы (3.3) будет определяться соотношением

,

и характеристический показатель Ляпунова (3.4) равен

= . (3.6)

Соотношение (3.6) имеет следующую геометрическую интерпретацию. Каждый собственный вектор задает инвариантное направление в касательном пространстве векторов . Если вектор начального смещения направлен вдоль одного из векторов , тогда остается параллельным ему. С течением времени расстояние между траекториями возрастает или убывает по экспоненциальному закону: . При таком выборе вектора начального смещения имеем .

В общем случае вектор начального смещения имеет составляющие вдоль нескольких или всех векторов . При больших моментах времени изменение расстояния между двумя траекториями будет определяться слагаемым с наибольшим показателем экспоненты в разложении (3.5) вектора . В зависимости от того, какие собственные векторы присутствуют в разложении вектора начального смещения , доминирующая экспонента будет различна.

Однако при достаточно больших моментах времени расстояние пропорционально какой-либо из экспонент . Следовательно, функция может принимать значения, равные только , и при повороте вектора могут происходить только скачкообразные изменения функции . Таким образом, характеристический показатель может принимать только различных значений в зависимости от начальных данных.

У матрицы могут быть кратные и комплексные собственные значения. В этом случае вещественных векторов может не быть, а будут минимальные инвариантные подпространства (для любого ) размерности , , при этом .

Среди всего набора характеристических показателей Ляпунова наиболее важен наибольший (старший) показатель . Покажем, что при произвольном выборе начального смещения предел (3.4) дает максимальный характеристический показатель Ляпунова. Произвольно взятый вектор будет иметь проекции на все векторы , в том числе и на тот из них, который отвечает максимальному значению собственного числа . При больших временах экспонента с этим значением в разложении (3.5) будет доминировать, а поэтому предел в (3.6) будет давать значение .

Чтобы получить меньшее значение характеристического показателя , необходим специальный выбор начальных данных. Простейший случай соответствует выбору одномерных инвариантных подпространств и

.

Здесь  ‑ линейная оболочка системы векторов, перечисленных выше в фигурных скобках.

Кроме обычных показателей , характеризующих одно решение (растяжение или сжатие в одном направлении), используют показатели Ляпунова порядка , которые определяют изменение ‑мерных фазовых объемов ( ). Пусть  – линейно независимые решения, а  – объем образуемого ими ‑мерного параллелепипеда, который равен

.

Здесь  – скалярное произведение векторов.

Определение 3.2. Характеристическим показателем порядка называется число, определенное как

. (3.7)

Подобно тому, как типичным значением характеристического показателя является , типичным значением характеристического показателя ‑го порядка является .

Среди всех выделяется показатель ‑го порядка. Любой набор линейно независимых решений образует фундаментальную матрицу . Ее определитель называется определителем Вронского . С его помощью фазовый объем можно записать в виде

= .

Для уравнения (3.3) справедливо: или . Отсюда следует, что характеристический показатель  ‑ го порядка равен

.

Если существует точный предел, тогда

.

Здесь  – среднее по времени значение следа матрицы .

В последнее соотношение для характеристического показателя вектор не входит, поэтому этот показатель является характеристикой всей динамической системы, а не ее отдельно взятой траектории. В зависимости от значения характеристического показателя ‑го порядка динамические системы подразделяются на консервативные, сохраняющие ‑мерные фазовые объемы ( ), и диссипативные ( ), фазовые объемы которых сжимаются.

Набор показателей Ляпунова линеаризованной системы (3.3) характеризует устойчивость траектории нелинейной системы (3.1). Если , то траектория асимптотически устойчива; если  ­ неустойчива. Набор характеристических показателей упорядоченных по убыванию называют ляпуновским спектром нелинейной динамической системы (3.1).

Пример. Для системы Лоренца

имеем

,

, .

Так как след матрицы не зависит от траектории и от времени, он и будет средним значением. Для аттрактора системы Лоренца характеристический показатель (3.7) третьего порядка равен .